Ja. Neem eerst a1 = 2 en b1 = 2. Nu zij er twee mogelijkheden: 22 is wel of is niet rationaal. In het eerste geval is de vraag beantwoord. In het tweede geval is dus 22 niet-rationaal. Maar neem dan als niet-rationale getallen a2 = 22 en b2 = 2 met als resul-taat: (22)2 = 2 is rationaal! Is nu de vraag beantwoord? Er is aangetoond dat ze er zijn, maar a en b zelf zijn niet gevonden.

De Nederlandse wiskundige Brouwer is de grondlegger van de theorie waarin dergelijke bewijzen niet zijn toegestaan. Deze theorie stamt uit het begin van deze eeuw en heeft tegenwoordig veel toepassingen in de informatica. Het begrip `bewijs' blijkt niet meer absoluut vast te liggen.

Het bewijs van het vierkleurenprobleem is lang en onoverzichtelijk omdat circa 2000 kaarten gecontroleerd moeten worden. Praktisch gezien kunnen alleen computers dit nagaan. Wat betekent dat voor bewijzen? The death of proof was de enigszins demagogische titel van een artikel in de Scientific American (oktober 1993). Het bewijzen als een creatieve activiteit om een logisch en overzichtelijk pad te vinden vanuit axioma's naar een onweerlegbare stelling, leek achterhaald.

Het bleek minder ernstig. Wiskundigen moesten zich eens gaan realiseren dat het bewijzen plaats vindt in een sociale context. Wat onweerlegbaar is, is ook sociaal bepaald en mogelijk tijdelijk. Hoewel in het slot van het artikel iemand waarschuwt dat het niet erg bemoedigend zou zijn als in de toekomst een computer antwoordt op de vraag of een hypothese correct is: `Ja, het is correct, maar je zult het bewijs niet begrijpen.'

Bewijzen moet - maar hoe (en waarom)?

Faculteit Wijsbegeerte, Universiteit Utrecht

Vrijdag 13.30-14.15 uur

Katholieke Universiteit, Nijmegen en Freudenthal instituut, Universiteit Utrecht

voorzitter: S.J. Doorman

Vrijdag 15.45-17.00 uur

Een punt van discussie is nog altijd de vraag hoever je moet gaan bij het inzicht geven aan leerlingen in wat een bewijs is, in het bijzonder in het iets tonen van de formele aspecten van het bewijsbegrip. Het standpunt zou verdedigd kunnen worden dat juist het begrip bewijs in onze intellectuele traditie z'n betekenis ontleend heeft aan de wiskunde.

Maar als je naar de geschiedenis van de wiskunde kijkt, is het niet toevallig dat bewijzen een aanschouwelijke oorsprong heeft.

De opzet van dit debat is om deze contraverse verder te onderzoeken. Daartoe zijn twee combattanten uitgenodigd die in een exploratief twistgesprek de vraag zullen verkennen, uitgaande van een zo helder mogelijk geprofileerde controverse.

Redeneren leren als formeel spel

Technische Universiteit Eindhoven

Zaterdag 10.00-11.00 uur

1. Het systeem om leerlingen het wiskundig redeneren bij te brengen was van oudsher dat men het redeneren in praktijk bracht zonder er ooit expliciete regels voor te formuleren. De leerlingen (althans de goede) kregen het vanzelf in de vingers.

2. Het hedendaagse wiskundeprogramma voor de scholen in ons land biedt weinig kansen om te laten zien wat een bewijs is. Nietemin is het zeer gewenst dat enig gevoel voor het wiskundig redeneren wordt bijgebracht.

3. De wetten van het redeneren kunnen heel goed op school worden uitgelegd. Men kan het doen aan de hand van afleidingen met vlaggenstokken en vlaggen, waarbij de vlaggen de onderstellingen dragen en de vlaggenstokken de geldigheidsduur van zulke onderstellingen aangeven.

4. Eenvoudigheidshalve kan dit werk worden beperkt tot propositiecalculus, waarbij letters a, b, c,... als proposities fungeren. In de een of andere volgorde worden mondjesmaat enkele connectieven en, of, impl, equiv ingevoerd, alsmede de ontkenning (niet). In verband met de ontkenning kan desgewenst ook met een propositie F (falsum) worden gewerkt.

5. Er zijn een aantal wetten die zeggen hoe met deze connectieven moet worden omgegaan in afleidingen. Met een eenvoudig notatiesysteem kan achter elke opgeschreven formule worden aangegeven welke afleidingswet op welke voorafgegane formules werd toegepast, waardoor verantwoording wordt afgelegd.

6. Er kunnen allerlei opgaven worden verstrekt, met uiteenlopende moeilijkheidsgraad. Vaak kunnen de opgaven interessanter gemaakt worden door het gebruik van ontkenningen te verbieden.

7. Dit werken met vlaggen toont niet alleen de structuur van wiskundige redeneringen, maar ook de strategie waarmee redeneringen worden gevonden.

8. Toepassing op de wiskundige praktijk is binnen de school vooralsnog beperkt wegens het bovengenoemde gebrek aan wiskundige stof, maar dat zou kunnen veranderen. Overigens behoeft zulke toepassing niet formeel te zijn; het is wellicht voldoende het inzicht bij te brengen dat redeneringen over wiskundige onderwerpen op eenzelfde wijze in elkaar zitten als de vlaggenschema's.