Wiskunde A-lympiade: Voorronde 1995-1996

Liften

Inleiding

In 1995 betrekt een groot bedrijf, met 1200 werknemers, een nieuw kantoorpand. Het kantoorpand is een gebouw van 21 verdiepingen: begane grond en de verdiepingen 1 tot en met 20.
In de centrale hal op de begane grond zijn zes liften. Alle werknemers werken op de eerste verdieping of hoger en maken gebruik van de liften.

In de eerste weken blijkt dat 's ochtends bij het binnenkomen grote problemen ontstaan. Zowel het bemachtigen van een lift als de tijd die sommigen onderweg zijn in de lift leveren onaanvaardbare situaties op. Soms komt het voor dat een lift gevuld is met werknemers die allemaal op een verschillende verdieping moeten zijn. Degene die naar de hoogste verdieping moet, is dan ruim vijf minuten onderweg. De mensen die beneden staan te wachten (en dat zijn er soms veel) proberen allemaal de lift te bemachtigen die weer het eerst beneden aankomt en het dichtste bij de ingang van het gebouw is.

Na enkele weken besluit de directie een 'elevator supervisor' aan te stellen om de mensenstroom van aankomende werknemers 's ochtends wat meer in goede banen te leiden. De supervisor krijgt de opdracht om maatregelen te nemen die de verwerking van de stroom werknemers soepeler doen verlopen.

De supervisor zet allereerst de gegevens die met dit probleem te maken hebben op een rijtje:

  • Naar elke verdieping gaan 60 mensen.
  • De capaciteit van elke lift is 20 mensen.
  • Snelheid van de liften:
    • Vanuit stilstand naar stilstand een verdieping hoger of lager: 8 sec.
    Vanuit stilstand naar passeren verdieping hoger of lager: 5 sec.
    Tijd tussen passeren twee opvolgende verdiepingen: sec.
    Van passeren verdieping tot stilstand een verdieping hoger of lager: 6 sec.
  • De tijd dat de lift gemiddeld stilstaat op een verdieping is 10 sec.
De supervisor heeft ook de volgende aanvullende gegevens over de stroom werknemers verzameld:
  • Alle werknemers komen tussen 8.45 en 9.00 uur binnen.
  • Er is een gelijkmatige stroom: hij gaat er daarom van uit dat er per minuut vier werknemers van iedere verdieping de centrale hal binnenkomen.
Hij bedenkt het volgende model om de stroom werknemers, naar hij hoopt sneller, te verwerken:
  • Drie liften gaan uitsluitend naar de verdiepingen 1 tot en met 10.
  • De andere drie liften stoppen alleen op de verdiepingen 11 tot en met 20.
  • Omdat gebleken is dat tussen 8.45 en 10.00 de werknemers hun verdieping nagenoeg niet verlaten, wordt in het model aangenomen dat de liften alleen gebruikt worden om de aankomende personen naar hun werkplek te vervoeren.

Opdracht I

  1. Bereken hoe lang het op deze manier ongeveer zal duren voordat alle werknemers op de goede verdieping zijn aangekomen.
  2. Ga ook na hoe groot het aantal mensen kan worden dat in de centrale hal staat te wachten.
  3. Bepaal tevens hoeveel tijd een werknemer nodig kan hebben om (vanaf het tijdstip van binnenkomst in het gebouw) aan te komen op zijn/haar verdieping.
Er zijn natuurlijk allerlei andere modellen te bedenken om de werknemers sneller per lift naar hun verdieping te brengen. Zo zou bijvoorbeeld de helft van de liften alleen op de even verdiepingen kunnen stoppen en de andere helft op de oneven verdiepingen.

Opdracht II

  1. Bedenk tenminste drie dienstregelingen voor de liften die naar jullie verwachting zorgen voor een snellere afwikkeling van de ochtendspits. Vergelijk alle modellen met elkaar en geef bij elk model argumenten die in het voor/nadeel ervan spreken.
Er zijn, in combinatie met een dienstregeling voor de liften, natuurlijk ook allerlei andere maatregelen denkbaar om de stroom soepeler te verwerken, zoals bijvoorbeeld:
  • Mensen meer gespreid binnen laten komen.
  • Mensen naar bepaalde verdiepingen laten lopen.

Opdracht III

  1. Stel je voor dat jullie supervisor zijn. Schrijf een advies voor de directie waarin je een aantal voorstellen doet om de stroom soepeler te laten verlopen. Ondersteun je advies met berekeningen en argumenten en verantwoord de gemaakte aannames.

    2. Een onderdeel van je advies dient ook een voorbeeldmemo te zijn, waarin je de werknemers op de hoogte stelt van de voorgestelde maatregelen en uitlegt wat de maatregelen voor hen inhouden.

    Maak ook een keuze of je met de volgende zaken rekening wilt houden:

    • De werknemers willen niet al teveel betutteld worden en willen ook geen heel ingewikkelde regeling, maar ze willen snel op hun verdieping aankomen.
    • De directie zetelt op de 15e verdieping en wil het liefst in het voorstel een voorkeursbehandeling krijgen.