Foto: C. Lohner, Delft.
Werkgroep 12
Geschiedenis en motivatie voor het slinger experiment
‘Vous êtes invités à venir voir tourner la terre.’ Met deze woorden werden in maart 1851 de inwoners van Parijs uitgenodigd om te komen kijken naar een zwaaiende bol aan een 67 m lang touw in het Panthéon gebouw. Dit experiment had Jean Bernard Léon Foucault bedacht om de draaiing van de Aarde aan te tonen. Het moet een succes geweest zijn want de Slinger van Foucault is befaamd geworden en onderdeel van tentoonstellingen in musea en exploratoria in de hele wereld. Enkele voorbeelden zijn hier genoemd:
San Francisco: http://www.calacademy.org/products/pendulum/index.html;
Washington: http://www.si.edu/resource/faq/nmah/pendulum.htm;
Magdeburg: http://hydra.nat.uni-magdeburg.de/foucault/;
München: http://www.deutsches-museum.de/ausstell/dauer/turm/turm.htm#ein.
Het experiment werd in 2001 zelf uitgevoerd op de Zuidpool:
http://www.phys-astro.sonoma.edu/people/students/baker/SouthPoleFoucault.html.
Op 24 september 2002 verscheen een artikel in de New York Times:
http://physics.nad.ru/Physics/English/top_ref.htm over 10 natuurkundige experimenten uit de geschiedenis, die door wetenschappers als de leukste experimenten gekozen werden. Eén van deze top-tien experimenten was de slinger van Foucault.
|
Figuur 1 De pen onder de slinger-bol raakt één van de 81 pilaartjes die op een cirkel met een omtrek van 539.4 cm zijn geplaatst. Foto: C. Lohner, Delft. |
|
Dit experiment lijkt ook vandaag de dag nog de mensen in grote getallen te boeien, misschien omdat men een alom bekend fenomeen met eenvoudige middelen kan verifiëren. In de zomer van het Jaar van de Natuurkunde 2005 (www.rug.nl/wyp2005) kwamen rond 10 duizend bezoekers naar de Martinikerk om zich te overtuigen van de draaiing van de Aarde. Jong en oud bleken gefascineerd door de omvallende pilaartjes, die op de omtrek van een cirkel onder de slinger door de slinger-bol met regelmaat geraakt werden (figuur 1).
Natuurlijk weten wij vandaag, en wist men ook al in 1851, dat de Aarde draait, alleen men realiseert zich dat niet zo gemakkelijk. Net zo gaat het met vele mooie verschijnselen in de natuur die men pas kan appreciëren als de achtergronden toegelicht worden. Het voordeel van de slinger-proef is dan ook dat hij met behulp van bekende natuurwetten uitgelegd kan worden. Door de slinger te observeren wordt een stukje van de ongrijpbare draaiing van de aardbol tastbaar. Vele bezoekers hadden wel een idee van de proef, toch het feit dat de Aarde in Groningen onder het slingervlak met een periode van 30 uur draait, zorgde steeds voor verbazing en extra fascinatie.
Wat trekt de bezoekers nu eigenlijk naar zo’n ‘low-tech’ experiment in een tijdperk waar we door high-tech apparaten overspoeld worden? Het is de boeiende harmonische beweging van de slinger en de observatie die tegen de intuïtie in gaat: wat draait er nu eigenlijk? Voor velen is het een stimulerende ervaring met een echt ‘experiment’ dat ook nog dicht bij de belevingswereld zit. Voor scholieren kan zo’n experiment een eerste wetenschappelijke activiteit zijn die een heleboel zinnige vragen los kan maken.
In zijn proefschrift ‘Nieuwe bewijzen voor de aswenteling der Aarde’ (Groningen 1879) schreef Heike Kamerlingh Onnes, die in 1913 de nobelprijs voor lage-temperatuur fysica won, ‘Foucault’s experiment is slechts een zeer bizonder geval van eene geheele groep van voor het begrip der betrekkelijke bewegingen zeer leerzame verschijnselen die ... de draaiing der Aarde laten bewijzen’. Hij voerde experimenten uit met een slinger van ca. 2 m lengte en berekende nauwkeurig de verstoringen door wrijving zodat uiteindelijk een precisie van ca. 7 % gehaald kon worden.
Opbouw van de slinger
De slinger in Groningen werd gebouwd volgens het voorbeeld van de slinger in de Millenniumtoren in Magdeburg (http://www.elbauenpark.de). Onder het gewelf van de Martinikerk te Groningen op een hoogte van 17 m werd een stalen plaat horizontaal gemonteerd om de stalen slinger-draad van 2 mm diameter vast te zetten en door een cirkelvormig gat naar beneden te laten lopen. Figuur 2 toont de bovenkant van deze plaat, waar de slinger-draad vastgezet werd. De lengte van de vrij bewegende slinger-draad met onderaan een 25 kg zware stalen bol was uiteindelijk 15.43 m wat overeen komt met een slinger-periode van 7.9 s.
|
|
|
| Figuur 2 De stalen slinger-draad is vastgezet aan de bovenkant van een horizontale plaat die onder het gewelf van de kerk is gemonteerd. | Figuur 3 Aandrijving van de slinger door een centrale elektromagneet die aangestuurd is door een lichtsensor. |
Centraal onder het ophangpunt van de slinger werden op een cirkel met een omtrek van 539.4 cm 81 pilaartjes geplaatst, die met regelmaat door een pen onder de slinger-bol geraakt en omgestoten werden. Bewust werd voor een oneven aantal pilaartjes gekozen zodat niet binnen één slingerperiode twee pilaartjes aan weerzijden getroffen kunnen worden. Een centrale elektromagneet werd aangestuurd door een lichtsensor in het middenpunt van de magneet. Deze compenseerde de verliezen door luchtwrijving door een azimuthaal symmetrisch aantrekkende kracht bij iedere slingerbeweging in richting op het centrum.
De slingerbeweging
De slingerbeweging komt tot stand door de zwaartekracht, die een om een hoek φ naar buiten getilde slinger met een kracht mg·sin(φ) naar het centrum terug trekt. Deze kracht staat in balans met de kracht -m dv/dt van de bewegende bol bij een snelheid v, waarbij de snelheid v uitgedrukt kan worden door de hoeksnelheid en de lengte l van de slinger-draad: v=ldφ/dt.
|
| |
| Figuur 4 Balans tussen de zwaartekracht en de kracht van de bewegende slingerbol bij een snelheid v. |
Voor kleine hoekveranderingen van de slinger mag men aannemen dat de benadering sin(&phi);)≈φ geldig is. Vervolgens kan men de vergelijking voor de slingerbeweging oplossen door een harmonische functie: φ = φ0 sin(ωt). De beweging van de slinger is dus een harmonische beweging met een periode
Door uitrekenen van de constanten is een handige benadering toegepast, zodat de slingerperiode in seconden uitgedrukt kan worden door 2 keer de wortel uit de lengte van de slingerdraad in meter. Deze benadering is overigens op 0.3 % nauwkeurig.
Bij de harmonische beweging van de slinger houdt de traagheid van de massa het slingervlak stabiel in dezelfde richting die door de eerste aanstoot van de slinger gedefinieerd wordt.
De draaibeweging van de slinger
Hoe komt nu ondanks de traagheid van de massa van de slingerbol een draaibeweging tot stand zodat de pilaartjes, opgesteld in een cirkel onder het ophangpunt van de slinger, één voor één met een vaste periode geraakt worden? Het vlak onder de slinger draait dus ten gevolge van de draaiing van de Aarde. Op de noordpool zou de draaisnelheid van het slingervlak ten opzichte van de Aarde 1 rotatie per 24h zijn. Daarbij ziet een buitenaardse waarnemer de slinger steeds op dezelfde plaats pal boven de noordpool. Op een plaats in Nederland bevinden wij ons op een breedtegraad van ca. 53°. Wij moeten dus rekening houden met het feit dat het ophangpunt van de slinger met de Aarde mee draait. Dit effect leidt tot een lokale draaibeweging voor ieder punt op de Aarde tussen noord- (of zuid-) pool en de evenaar.
| Figuur 5 De lokale draaisnelheid van een punt G op een breedtegraad van 53°. |
|
Terwijl ieder punt op de evenaar met ca. 40.000 km / 24 h beweegt, beweegt een punt G op de breedtegraad van 53° met een snelheid van cos(53°)·40.000 km/24h≈1000 km/h. Op een afstand van 1° meer of minder is het verschil ca. 24 km/h minder of meer. Omdat de afstand tussen twee breedtegraden ca. 111 km bedraagt, lijkt dus om het punt G een draaibeweging plaats te vinden met een hoeksnelheid van
arctan (24 km/111 km)/h ≈ 12°/ h = 360° / 30 h.
Dit betekent dat de bodem onder het (stabiele!) slingervlak in 30 uur een volle draaiing uitvoert. Ten gevolge daarvan moeten de 81 pilaartjes op de omtrek van een cirkel onder het slingervlak aan weerzijden van de cirkel met een tijdafstand van 11.1 min geraakt worden. Dit is ook wat de metingen aantonen.
Andersom kan men ook de meting van de lokale draaisnelheid gebruiken om de positie van de slinger te bepalen: In een meettijd van 2 uur kan men door het aftellen van de omgevallen pilaartjes de draaiing van de bodem onder het slingervlak bepalen: (24.2°±0.6°)/2h. Deze draaisnelheid is te vergelijken met 360°·sin(θ)/24h op een breedtegraad θ. Vervolgens kunnen we de breedtegraad bepalen: θ=53.8°±1.1°, terwijl een GPS apparaat een breedtegraad van 53.22° aangeeft. De slinger is dus geen instrument voor hoge precisie, maar is wel behoorlijk nauwkeurig zodat met kleine moeite een precisie van enkele % gehaald kan worden.
Luchtstromingen
Naast de rotatie van het slingervlak veroorzaakt de draaiing van de Aarde ook een rotatie van luchtstromen, die zich van hoge- naar lagedruk gebieden begeven. Op weerfoto's, genomen vanuit de ruimte (figuur 6) zijn ze gemakkelijk te herkennen: linksom kolkende wolkenmassa's op het noordelijke halfrond, en rechtsom kolkende wolkenmassa's op het zuidelijke halfrond. Deze luchtstromen kunnen worden beschreven door de Coriolis kracht, een schijnkracht die het effect van de draaiing van de Aarde in rekening neemt. De krachtvector FCoriolis staat loodrecht op de vector ω⊥ sin(φbreedte) van de lokale rotatie van de Aarde en op de richtingsvector v||van de luchtbeweging op het aardoppervlak:
Het gevolg is een afbuiging naar rechts op het noordelijke halfrond en een afbuiging naar links op het zuidelijke halfrond. Deze afbuiging veroorzaakt de zogenoemde ‘inertiaal-cirkels’ van luchtstromen (figuur 7).
|
|
|
| Figuur 6 Hurricane Isabel ten oosten van de Bahamas op 15 september 2003. | Figuur 7 De ‘inertiaal-cirkels’ van luchtstromingen veroorzaakt door de Coriolis kracht |
Conclusies
De slinger in de Martinikerk in Groningen, in de zomer van het wereldjaar van de natuurkunde 2005, heeft een groot aantal bezoekers aangetrokken. Daaronder waren zeer veel jonge mensen en vooral scholieren en schoolklassen, die de slinger gebruikten als aanleiding voor een project of profielwerkstuk.
De alledaagse ervaring dat de Aarde draait kan in een eenvoudig experiment kwantitatief geverifieerd worden. De waarneming van de slinger- en de draaibeweging zetten aan tot nadenken over de werking van de slinger en de bewegingen op een roterend lichaam zoals de Aarde. Bovendien zijn er interessante consequenties voor luchtstromingen op de Aarde. Verder gaven de discussies over de slinger veelvoudig aanleiding tot interessante gesprekken over natuurkundige fenomenen in het algemeen en in het bijzonder in de moderne natuurkunde.
Graag wil ik mijn dank uitspreken aan de studievereniging ‘Professor Francken’ en de organisatoren van de ‘slingerwacht’: Mette Stam, Roel Andringa en Corien Prins voor bijdragen aan de presentatie op het web en op de flyer. Dank ook aan Theo Jurriens en aan alle deelnemers aan de slingerwacht van juni tot september 2005 in de Martinikerk te Groningen.
