Galilei

Uit Wiki reken-wiskundeonderwijs

Ga naar: navigatie, zoeken

Home   All   A   B   C   D   E   F   G   H   I   J   K   L   M   N   O   P   Q   R   S   T   U   V   W   X   Y   Z   Categorieën               Vragen               Google-zoek               Pagina toevoegen       English       intern


Inhoud

Algemeen

Op zoek naar een context voor 'betekenisvolle wiskunde' (tweedegraadsvergelijkingen) voor vathorst

Het verhaal van Galilei die de valversnelling ontdekte

(ik weet niet of het echt 3vwo natuurkunde is, dat zouden we nog kunnen navragen)

Van de Huygens website

http://www.phys.uu.nl/~huygens/index.htm

Fragment 1

Toen Galilei ongeveer twintig jaar was, in het jaar 1583, bevond hij zich in Pisa , waar hij zich op aanraden van zijn vader toelegde op de studie van filosofie en geneeskunde. Toen hij op zekere dag in de Dom van die stad was kwam het bij hem op, nieuwsgierig en alert als hij was, om de beweging van een kroonluchter die van zijn verticale positie was afgeweken te bekijken, of bij geval de duur van de heen en weer gaande bewegingen, zowel bij grote uitwijkingen als bij middelmatige en kleine, steeds gelijk was. Het leek hem dat de tijd nodig voor de grotere lengte van een grote uitwijking wel eens zou kunnen worden gecompenseerd door de grotere snelheid waarmee in dat geval de lamp volgens hem moest bewegen, aangezien zijn baan dan in het bovenste gedeelte sterker helt. Hij besloot dus om, terwijl deze lamp rustig bleef bewegen, over deze slingeringen een onderzoek in te stellen, zoals dat heet, ruwweg door middel van zijn eigen polsslag, en met hulp van het tempo van de muziek, waarin hij zich al met veel vrucht geoefend had. En voor het moment bracht dit onderzoek hem tot het besluit dat hij goed gezien had dat de tijdsintervallen gelijk waren. Maar hierover niet voldaan ging hij naar huis en zon op middelen om dit met meer zekerheid vast te stellen.

Hij bevestigde twee loden ballen aan draden van gelijke lengte en hing die aan het uiteinde op, en wel zo dat de ballen vrij door de lucht konden slingeren. (Om die reden worden zulke instrumenten slingers of pendels genoemd). Hij gaf ze afwijkingen ten opzichte van de verticaal van verschillende hoeken, bijvoorbeeld de ene een afwijking van dertig graden en de andere van tien, en liet ze vervolgens allebei op hetzelfde moment los. Met hulp van een assistent stelde hij vast dat wanneer de ene met de grote uitwijking een bepaalde hoeveelheid slingeringen maakte, de andere met de kleine uitwijking er precies evenveel maakte.

Voorts maakte hij twee gelijksoortige slingers, maar van heel verschillende lengtes, en nam waar dat wanneer hij van de kortere een bepaald aantal slingeringen noteerde, bijvoorbeeld 300 als de uitwijking het grootst was, de langste in dezelfde tijd ook altijd een vast aantal slingeringen maakte, bijvoorbeeld 40, ongeacht of hij een grote of een kleine uitwijking had. Hij herhaalde dit vele malen en vond steeds, voor elke uitwijking en voor elk getal slingeringen, de waarneming bevestigd dat de duur van het heen en weer gaan van een en dezelfde slinger, of die nu groot of klein is, altijd precies hetzelfde is, **Althans, de verschillen waren verwaarloosbaar ten opzichte van degenen die vielen toe te schrijven aan de luchtweerstand, die snellere lichamen meer tegenwerkt dan langzamere.**

Het bleek voorts dat noch het absolute verschil in zwaarte, noch de verschillende zwaarte van verschillende soorten bollen enig duidelijk verschil maakten. Van alle bollen voor zover opgehangen aan draden van dezelfde lengte, gemeten van het punt van ophanging tot hun middelpunt, bleef de periode nagenoeg gelijk bij alle uitwijkingen. Dat er geen hele lichte materie, zoals kurk, was gekozen, is omdat in dat geval door de lucht (die de beweging van zware lichamen altijd wil tegenhouden, en dat sterker naarmate ze lichter zijn) de beweging makkelijker belemmerd wordt en dus sneller tot stilstand komt.

Fragment 2

Galilei zelf schreef aan het einde van zijn leven:

"In de eerste plaats valt op te merken dat elke slinger zijn eigen slingertijd heeft, zo vast en welbepaald dat het onmogelijk is om hem te laten bewegen met een andere periode dan degene die de natuur hem heeft gegeven. Deze hangt niet af van het gewicht of van de uitwijking, maar enkel en alleen van de lengte van de slinger."

Commentaar Er is iets merkwaardigs aan de hand met de beschrijving van het experiment van Galilei. Als je het experiment nadoet, zul je vinden dat de slingertijd van een slinger met een uitwijking van 30 graden wel degelijk verschilt van een even grote slinger met een uitwijking van maar 10 graden. Na een aantal slingeringen gaan ze merkbaar uit de pas lopen.

Galilei moet die verschillen ook hebben opgemerkt. Niettemin besloot hij dat slingers isochroon zijn, dus dat ze altijd dezelfde slingertijd hebben, ongeacht de uitwijking. Hij vond de verschillen kennelijk niet groot genoeg om er rekening mee te houden. Dat is wel begrijpelijk, omdat een meting altijd verstoord wordt door externe invloeden. In het geval van de slinger is dat vooral de luchtweerstand. Die is niet altijd gelijk. Wanneer een slinger sneller beweegt, dus bij grotere uitwijkingen, is de weerstand groter. Galilei ging er van uit dat de verschillen te wijten waren aan zulke verstorende factoren, maar dat slingers uit zichzelf altijd dezelfde slingertijd zouden hebben.

Het is altijd een moeilijk probleem wat voor (on)nauwkeurigheid bij een meting aanvaardbaar is om het bestaan van een verschijnsel vast te stellen. Verstoringen zijn er altijd; wie alleen maar met exacte overeenstemming tevreden is zal vrijwel nooit resultaat vinden. Anderzijds, wie al te slordig meet vindt verschijnselen die er niet zijn.

Galilei had ongelijk dat de verschillen die hij waarnam alleen aan verstoringen van buiten waren te wijten. In tegenstelling tot wat hij dacht zijn slingers niet volledig isochroon. Maar ze zijn wel bijna isochroon. Dat was op zich al een verrassende ontdekking. Vandaar dat Galilei zich gerechtigd kon voelen om al zijn aandacht te geven aan deze (bijna-)isochroniteit en zich vooralsnog niet druk maakte om allerlei kleine afwijkingen. Wat hij gaf was een ruwe theorie die door latere onderzoekers kon worden verfijnd.

De slinger en de valbeweging

Van meet af aan was duidelijk dat de beweging van een slinger wordt veroorzaakt door de zwaartekracht. Galilei merkte al op dat een slinger vanuit een grotere uitwijking steiler naar beneden valt en dan dus sneller beweegt.

De slinger is daarmee ook een manier om de valbeweging te bestuderen. Het bestuderen van een vrije val is lastig, omdat de beweging zo snel verloopt en dan ook meteen weer is afgelopen. Een slinger blijft geruime tijd doorslingeren. Het proces is als het ware meer beheerst.

Galilei was de eerste die de slinger gebruikte om conclusies te trekken over de valbeweging. Het feit dat een klein gewicht aan een touwtje dezelfde slingertijd heeft als een groot gewicht aan een even lang touwtje vormde een aanwijzing dat zware en lichte lichamen ook even snel moesten vallen. Dat was tegen de intuïtie in. Het gezonde boerenverstand leerde dat zware lichamen sneller vallen dan lichte.

In de praktijk vallen lichte lichamen ook echt iets langzamer, namelijk omdat ze meer last hebben van de luchtweerstand. Maar net zoals Galilei bij zijn bepaling van de slingertijd geen rekening wenste te houden met allerlei verstorende factoren en boudweg verklaarde dat de slingertijden van een slinger bij elke uitwijking gelijk waren, wenste hij ook bij de valbeweging met zulke factoren geen rekening te houden. Hij stelde dus glashard dat alle lichamen uit zichzelf even snel vallen, hoe zwaar ze ook zijn.

Het verhaal dat Galilei tegelijkertijd een zware en een lichte kogel van de toren van Pisa liet vallen is waarschijnlijk niet waar, althans, er is geen bewijs voor gevonden. Dit soort proeven is later wel door anderen genomen. Het is wel mogelijk dat Galilei dit soort proeven deed, maar het kan ook zijn dat hij op andere gronden al zozeer van zijn gelijk overtuigd was dat hij zich de moeite bespaarde.

Galilei ging uit van het traagheidsbeginsel: een lichaam dat eenmaal beweegt, zal uit zichzelf in een rechte lijn en met constante snelheid blijven doorbewegen. Een lichaam dat aan het vallen is behoudt dus uit zichzelf zijn beweging naar beneden toe. Tegelijkertijd weten we dat de zwaartekracht er aan trekt; daardoor is het lichaam immers met vallen begonnen. Omdat de zwaartekracht er onder het vallen voortdurend aan blijft trekken gaat het lichaam steeds harder bewegen. De beweging van een vallend lichaam is dus versneld.

Een langere slinger komt overeen met een val over een grotere afstand. Vandaar dat lange slingers een grotere slingertijd hebben dan korte, net zoals een val over een grote afstand langer duurt dan over een korte. Bij een slinger valt vast te stellen dat de lengte evenredig is met het kwadraat van de slingertijd, oftewel dat de slingertijd evenredig is met de wortel uit de lengte. Het ligt dan voor de hand om aan te nemen dat bij de val de afgelegde afstand evenredig is met het kwadraat van de tijd.

Galilei probeerde dit resultaat vervolgens op andere manieren te verifiëren. Zo liet hij allerlei kogels langs een hellend vlak rollen, vanaf een verschillende hoogte en met een wisselende helling van het vlak, om een vertraagd soort val te krijgen waarvan hij, met de gebrekkige meetinstrumenten van zijn tijd, de duur kon bepalen. De resultaten waren ruwweg met zijn bevindingen aan de slinger in overeenstemming. Galilei stelde vast dat in opeenvolgende gelijke tijdsintervallen de (binnen die periodes) afgelegde afstanden zich verhouden als de opeenvolgende oneven getallen: 1, 3, 5, 7, enzovoort. Of, wat op hetzelfde neerkomt, de totale afgelegde afstand is evenredig met het kwadraat van de valtijd.

Verwijzingen

Persoonlijke instellingen
GOOGLE