Een voorpublicatie van een artikel dat in de komende Wiskrant zal verschijnen.
Arthur
Bakker,
Freudenthal Instituut
Het was alweer de vijfde keer dat een paar honderd wiskundeleraren naar de Leeuwenhorst in Noordwijkerhout trokken voor deelname aan de Nationale Wiskundedagen. Menigeen zal zich twee lichamen gewenst hebben om interessante parallelsessies te kunnen volgen, en misschien wel drie geesten om alles goed te kunnen begrijpen. Een lengtedoorsnede van één deelnemer.
Korte impressies uit de volgende lezingen en werkgroepen:
Voor een groep van 40 deelnemers begon het avontuur in Leiden met het wachten op een bus die niet kwam. "Volgend jaar als thema wiskunde & logistiek?" opperde iemand. Toen na twee uur wachten en bellen uiteindelijk de eerste taxi verscheen, was prof. Dijkgraaf van de Universiteit van Amsterdam bijna klaar met zijn lezing over de invloed van de natuurkunde op de wiskunde.
Naar verluidt kraakten alle hersens toen deze begaafde fysicus, wiskundige en kunstenaar in korte tijd via de relativiteitstheorie, quantummechanica, quantumveldentheorie bij de snaartheorie aankwam. De nieuwste natuurkundige theorieën gaan niet uit van puntdeeltjes maar van snaren (strings). Elementaire deeltjes worden gezien als eendimensionaal trillende ‘elastiekjes’. Allerlei verschillende theorieën blijken ineens in één wiskundige formule te vangen te zijn.
Is zo'n formule iets wat we ontdekken of wat we uitvinden? De beschreven prachtige samenhang tussen de wiskunde en de natuurkunde zorgde voor een opleving van het platonisme: er moet toch wel één werkelijkheid buiten onze geest zijn die wij ontdekken. In de jaren zestig geloofde men over het algemeen dat wiskunde uitgevonden wordt; de wiskunde zag men als een vrije creatie van de menselijke geest.
Ronald Meester van het Mathematisch Instituut te Utrecht verzamelde een jaar lang krantenkoppen, greep de telefoon bij onduidelijke uitspraken en bemoeide zich uiteindelijk met de voorspellingen rond de varkenspest. Op meesterlijke wijze bracht hij ons niet alleen wantrouwen bij, maar ook inzicht in zes verschillende statistische valkuilen. Een selectie.
Kop 1: Helft werkloosheid is structureel.
Dit klinkt zorgwekkend, maar er had even goed 20% kunnen staan, zoals uit het onderstaande versimpelde plaatje blijkt.
[plaatje, nog te maken]
Op ieder tijdstip is de helft van de werklozen langdurig werkloos, maar als je naar het totale aantal werklozen over een bepaalde periode kijkt, is slechts 20% langdurig werkloos.
Kop 2: PvdA-ers kritischer over landbouwminister dan CDA-ers.
In dit geval bleek deze uitspraak op percentages te berusten, maar hoe zit het met de absolute aantallen? Rekent u eens de volgende situatie door. In stad en dorp worden 1100 stemmers geënquêteerd. Tabel 2 geeft de percentages van stemmers die kritisch zijn over de landbouwminister.
Tabel 1
|
geënqueteerden |
stad |
dorp |
|
|
CDA-stemmers |
100 |
1000 |
1100 |
|
PvdA-stemmers |
1000 |
100 |
1100 |
|
|
1100 |
1100 |
2200 |
Tabel 2
|
kritisch over minister |
stad |
dorp |
|
CDA-stemmers |
36% |
60% |
|
PvdA-stemmers |
45% |
65% |
Procentueel gezien is er een overtuigende PvdA-meerderheid kritisch over de minister, maar absoluut gezien zijn er meer CDA-ers kritisch: 636 vs. 515. Een mooi sommetje voor in de statistiekles.
Kop 3: 60% zegt ja tegen donorcodicil.
Wat bleek? Toen deze uitspraak in de kranten verscheen, was pas 10% van de formulieren binnen. Hadden de voorstanders misschien het eerst hun formulieren ingezonden? Iemand in de zaal beaamde dat het definitieve percentage ja-zeggers veel lager lag dan 60%.
Kop 4: Varkenspest slaat niet door.
Deze uitspraak was gebaseerd op het volgende rijtje aantallen nieuwe bedrijven waar varkenspest geconstateerd was per week: 6, 5, 8, 8, 3. Drie is niet veel, dus is besloten geen dieren in te enten en geen vervoersverbod te heffen, met alle rampzalige gevolgen vandien. Onze spreker heeft de betreffende instantie geholpen een beter voorspellingsmodel te ontwikkelen. Hopelijk voorkomt dat een nieuwe epidemie.
Maar liefst vier sessies gingen over wiskundige stucturen in de muziek. Jan van de Craats presenteerde een model waarmee toonsoorten en modulaties (wisselingen van toonsoort) begrepen kunnen worden. Ineens werd het duidelijk waarom de Fis (van Euler) in C-groot thuishoort en wat de napolitaanse drieklank Des-F-As in C-klein doet. Ze horen gewoon in het ‘toonsysteempje’ van deze toonsoort.
Aad Goddijn lokte 80 mensen met de intrigerende titel
Hoe klinkt de vierdemachts-wortel uit 5?
Als een van de weinige sprekers zette Goddijn de luisteraars aan het werk. Zij rekenden verhoudingen van intervallen door en kwamen tot de conclusie dat in de middentoonstemming de afstand Cis-D groter is dan C-Cis. Toen Goddijn E-F en F-Fis liet horen was tot ieders verbazing duidelijk te horen dat E-F groter was dan F-Fis. Slechts één persoon was zo eerlijk te zeggen dat hij het niet hoorde. Goddijn maakte het verschil tussen middentoonstemming en gelijkzwevende stemming duidelijk en rekende af met enkele misverstanden.
Zo denken velen dat 'das Wohltemperierte Klavier' van Bach in gelijkzwevende stemming gespeeld moet worden, maar dit heette in het Duits Gleichschwebende Temperatur. Er is geen reden aan te nemen dat 'wohltemperiert' gelijkzwevend betekent. Maar sinds de foute vermelding in The Grove Dictionary of Music van 1893, is het misverstand op vele platenhoezen terechtgekomen. Gelukkig is The New Grove wel correct.
Uit het exposé over de verschillende stemmingen bleek dat bij het stemmen van een klavecimbel enige wiskundige kennis meer helpt dan een grote muzikaliteit.
Met grote toewijding gaf Aad Goddijn, een leerling van Ton Koopman, na afloop van zijn lezing een klavecimbelconcert.
[schilderij Vermeer met luit en klavecimbel]
gelijkzwevende stemming en middentoonstemming: hoe klinkt dit samen?
Als een bankdirecteur je uitnodigt voor de lunch, wat denk je dan? Prof. Celia Hoyles van the Institute of Education van de Universiteit van Londen, zag al miljoenen ponden voor zich, maar haar collega dacht dat diens zoontje bijles nodig had. Wat bleek: de bank verloor jaarlijks duizenden ponden door wiskundige vergissingen van werknemers. Of Hoyles onderzoek wilde doen naar de wiskunde die bankemployees gebruiken en nodig hebben. Zij is toen in de bank gaan rondkijken. Haar onderzoek heeft ze voortgezet in ziekenhuizen en vliegtuigcockpits. Het blijkt dat ook de wiskundige kennis van verpleegsters en piloten uitzonderlijk sterk gekoppeld is aan de praktijk. Voor verpleegsters is het rekenen met verhoudingen gekoppeld aan bepaalde medicijnen: bij een bepaald antibioticum vermenigvuldig je altijd met 2. Piloten blijken koersvraagstukken intuïtief goed op te lossen, maar zodra ze dezelfde som met speedboten krijgen, kunnen ze het niet meer.
Hoyles onderstreepte dat de meeste wiskundetests niet testen wat werknemers moeten kunnen en dat het meeste beroepsonderwijs niet aanbiedt wat de studenten gaan gebruiken. De wiskundeleraar loopt er dagelijks tegenaan: de context loslaten en het probleem vertalen naar een andere situatie blijkt steeds weer moeilijk te zijn voor leerlingen.
Dirk Jan Struik op weg naar zijn derde levenseeuw
Mysteryguest van de NWD was de 104-jarige wiskundige Dirk Jan Struik. We zagen op een groot scherm hoe hij zichzelf thuis de trap ophees. "Anders kan ik toch niet naar bed?" Tot vijf, zes jaar geleden reed hij nog auto. Hoewel hij zich Amerikaan voelt, spreekt hij nog accent- en foutloos Nederlands, citeert Gijsbrecht van Amstel en zingt de Internationale. In 1960 ging hij met emeritaat. Het ergste vindt hij dat hij zoveel tijdgenoten verliest: "Als je even niet oplet, gaan ze stiekem dood." Maar hij heeft veel vrienden en kan nog een beetje werken. Fanatiek legt hij uit dat de 21e eeuw pas begint op 1 januari 2001. "Als ze het jaar 2000 vieren, vier ik niet mee. De Paus zou toch beter moeten weten." De Romeinen kenden nog geen nul. Toen Dionysius in de zesde eeuw de jaartelling invoerde, bestond er nog geen nul. De jaartelling begint dus met het jaar 1. Af en toe begeleidt Struik zijn argumenten met armbewegingen die ik vooral met vakbondsleiders associeer. Stamt dit uit de tijd dat hij actief marxist was?
Op de vraag naar bijzondere gebeurtenissen in zijn leven denkt hij pas na twee gebeurtenissen aan de liefde. Hij schrikt op en roept enthousiast: mijn verloving! Na drie ontmoetingen verloofde hij zich met de wiskundige Ruth Ramler. "Of zij met mij", voegde hij er aan toe. Binnen een jaar trouwden ze.
Als Marjolein Kool hem vraagt naar zijn mening over de Monica Lewinsky-affaire reageert hij fel: "Vuiligheid, smerigheid, ... domheid! 50, 60 pagina’s in de krant met pornografie, gratis! Waar een groot land klein in kan zijn."
Iedereen die eerder de Nationale Wiskundedagen heeft meegemaakt, verwachtte op de vrijdagavond op zijn minst een boemerang die door de zaal vloog, een jonglerende spreker, ronddraaiende zeepbellen of een carillonspektakel. Andrew Thomason van de Universiteit van Cambridge deed zijn uiterste best een leuke lezing over het vierkleurenprobleem te houden. Op ieder ander moment zou het een uitstekende lezing zijn geweest, maar na een volle dag en een voortreffelijke maatlijd wilden de grijze cellen niet meer. Misschien had hij iedereen bij binnenkomst een kleur moeten geven plus de opdracht naast anderen te gaan zitten met een andere kleur.
Toen Thomason het orkest 'Toeters en Bellen' in de verte hoorde, sloot hij de lezing snel af. Een bonte stoet van vrolijke blazers en slagwerkers ging door de gangen en lokte veel deelnemers de dansvloer op. Toeters en Bellen was het eerste muzikale gezelschap op de NWD dat onverdeeld positief gewaardeerd werd bij de enquête.
Het Centraal Bureau voor de Statistiek viert dit jaar zijn honderdste verjaardag. Prof. Jelke Bethlehem gaf een boeiend historisch overzicht van de volkstelling in Bethlehem tot de moderne steekproeftechnieken. Toen het CBS opgericht werd, was het nemen van een steekproef voor de meesten nog onethisch en immoreel: iedereen moest met zijn informatie of mening kunnen bijdragen aan het onderzoek. Tegenwoordig zijn we maar al te blij als we niet wéér een enquête hoeven in te vullen. De enquêtes van de Leeuwenhorst over het ontbijt werden nauwelijks serieus ingevuld.
Ook simuleerde Bethlehem verschillende soorten steekproeven op de computer. Steeds verscheen er een soort normale verdeling. Zulke aanschouwelijke simulaties zouden het in de klas ook goed doen.
Het belang van wiskundige kennis voor inzicht in onze cultuur
Prof. Doorman is een klassiek spreker. Hij sprak, in schrijftaal, over de kloof tussen alfa's en bèta's, de wiskundige structuur van de fuga, en over de vergelijking van ons brein met de computer. Multimedia had hij hierbij niet nodig: nog geen sheet of bandopname kwam eraan te pas. De naam Burke spelde hij hardop en bij zijn exposé over de fuga zong hij het fuga-thema en de omkering daarvan zelf.
De kloof tussen alfa's en bèta's is nog niet zo heel oud. Estheticus Edmund Burke (1729-1797) verzette zich hevig tegen het belang van mathematische proporties in de kunst. Alleen de individuele emotie was volgens hem van belang. In de Romantiek heeft deze tendens doorgezet. Vóór de 18de eeuw was het anders: de wiskunde had toen een tussenpositie tussen de humanoria en de natuurwetenschappen. Doorman pleitte voor herstel van deze positie en voor wiskunde in het profiel Cultuur en Maatschappij. Hij voerde en passant twee nieuwe woorden in: beleidsbediendes en alfa-getekenden. Een alfa-getekende is te herkennen aan de uitroep: "Ik ben maar een alfa". Beleidsbediendes ("ze noemen zichzelf beleidsmakers") die zich buigen over het profiel C&M krijgen het niet makkelijk, voorspelde Doorman, want de angst van de zogenaamde 'alfa-getekenden' voor de wiskunde is bijzonder diepgeworteld.
De angst en weerzin die mensen hebben als het menselijk brein vergeleken wordt met de computer, vindt Doorman niet terecht. Onderzoek dat ertoe leidt dat we weten wat een computer goed kan (rekenen, schaken, enz.) en vooral wat hij niet goed kan (beeldherkenning bijvoorbeeld), draagt bij aan onze zelfkennis.
Als ik een prijs voor de beste presentatie mocht uitreiken, dan zou deze absoluut naar Nando Timmer van de TU Delft gaan. Twee jaar geleden vroeg een schaatser aan een collega: "Jullie hebben verstand van aërodynamica. Dus,... kunnen jullie mij sneller maken?" Hij kon ze alleen met publiciteit betalen. Het succes had kunnen leiden tot een populair succesverhaal, maar gelukkig heeft Timmer zich hier niet toe laten verleiden. Drie kwartier wist hij ons bij de aërodynamische les te houden. Toen wisten we genoeg over laminair loslaten en Reynoldsgetallen om de werking van de strips te begrijpen. Met tegenzin stonden we toe dat de lezing van buitenaf beëindigd werd.
Na vijf jaar al kennen de Nationale Wiskundedagen verschillende tradities. Om zeven uur ‘s morgens ging de funrun weer van start. Bij de 62 funrunners waren 7 vrouwen, 4 wandelaars en één Engelsman. Deze Engelsman was een van de drie leraren die gratis naar de NWD mochten om hun eigen workshop te leiden. Aparte vermelding verdient leraar Job van de Groep die tweemaal een volgeboekte zaal had met goochelaars in spe. Wie wil zijn of haar klas niet tracteren op een paar mysterieuze trucs? Van de Groep verbood verspreiding van de trucs, dus komen ze niet in de Nieuwe Wiskrant. Hopelijk komt hij volgend jaar weer.
Voor het eerst werd er een bridgedrive georganiseerd. Het begin van een nieuwe traditie? Na één workshop over bridgen wisten twee beginners al een score te behalen van 60,42%. Twee winnende gevorderden behaalden 61,31%. Voor mij als leek een verwaarloosbaar klein verschil. Wat betekent zo’n percentage? Je gaat over alles nadenken. Op een reclamebord las ik: 100% smaak, 94% vet vrij. De telefoon grijpen heeft weinig zin, vrees ik. Ik zal nog vaak denken aan de statistische waarschuwingen van Ronald Meester.