Getaltheorie is ontstaan uit nieuwsgierigheid naar de eigenschappen van de getallen 1, 2, 3, 4, 5, ... Of, zoals Brouwer het formuleerde in zijn dissertatie:
`Een, twee, drie, ... zo begint de wiskunde; wellicht in de ontwikkeling van de mensheid, wellicht in de ontwikkeling van het kind.'
Een bijzonder aspect van de getaltheorie is het feit dat zowel `professionals' als `amateurs' zich door de tijden heen met groot enthousiasme op dit vakgebied binnen de wiskunde gestort hebben. Alleen dat feit al maakt dit onderwerp buitengewoon geschikt voor de Nationale Wiskunde Dagen. De reden dat amateurs en leken zich zozeer door getaltheorie voelen aangetrokken ligt vooral ook in het feit dat de problemen zo voorstelbaar zijn. Dat geldt in aanmerkelijk mindere mate voor de oplossingen. De stelling van Fermat is hier een goed voorbeeld van.
Tot het midden van onze eeuw werd getaltheorie beschouwd als de zuiverste van de wiskundige disciplines. Dat is nu definitief voorbij. Getaltheorie is door de opkomst van digitale technieken een vak geworden met vele toepassingen. Anderzijds hebben computers het mede mogelijk gemaakt dat getaltheoretici onwaarschijnlijk grote ontbindingen in factoren hebben kunnen uitvoeren en reusachtige priemgetallen hebben kunnen vinden.
De lezingen over dit thema zullen iets laten zien van de fascinatie die getaltheorie kan oproepen. Onder andere de meest recente stand van zaken rond het bewijs van de stelling van Fermat zal aan de orde komen.
Van der Blij sprak in zijn afscheidscollege niet zonder reden van het `Wonder-Raadselrijk der Getaltheorie'.
Jaap Top
Faculteit Wiskunde, Universiteit Groningen
Onder `derdegraads vergelijkingen' zullen we met name verstaan vergelijkingen van de gedaante y = x3 + ax2 + bx + c, in de onbekenden x en y, voor vaste a, b en c. Hierbij eisen we dan ook nog, dat het gegeven derdegraads polynoom in x geen meervoudige nulpunten heeft.
Zowel binnen (in) de theorie hierover, als vanuit (om) die theorie hebben recent nogal wat ontwikkelingen plaatsgevonden. We hopen dit aan de hand van een tweetal voorbeelden te illustreren.
Een voorbeeld binnen de theorie: hoewel misschien niet de belangrijkste ontdekking op dit gebied gedurende de afgelopen tien jaar, levert een resultaat van J.-F. Mestre (1991) hier een fraai voorbeeld. Het resultaat zegt iets over hoe ingewikkeld de verzameling oplossingen in rationale getallen x en y kan zijn, wanneer de a, b, c ook rationaal gekozen waren. Men kan namelijk uit gegeven oplossingen nieuwe construeren door de verzameling van alle oplossingen te zien als een kromme in het x, y-vlak, en dan lijnen in dat vlak die twee punten op de kromme verbinden opnieuw te snijden met de kromme. (Al met wiskunde uit de derde en vierde klas kunnen met het genoemde proces heel ingewikkeld ogende oplossingen gemaakt worden!).
Ruim zeventig jaar geleden is aangetoond dat er altijd een eindige verzameling punten met rationale coördinaten bestaat, zodat alle overige punten met het zojuist beschreven proces hieruit te construeren zijn. Mestre toont aan dat er voor oneindig veel essentieel verschillende tripels a, b, c in dit proces tenminste twaalf `beginpunten' nodig zijn. Het bewijs berust in wezen op dezelfde technieken waarmee Fermat in de zeventiende eeuw oplossingen van analoge vergelijkingen construeerde, en dat is op zijn beurt in feite niets anders dan de techniek van het `kwadraat afsplitsen' die ons in de onderbouw van de middelbare school wordt aangeleerd.
Als voorbeeld van een toepassing wordt in het kort iets over het ontwerpen van fouten-verbeterende codes verteld.
De Laatste Stelling van
Fermat (Syllabus uitgegeven in 1993 door het Wiskundig Genootschap in samenwerking
met de Universiteit Utrecht).
Silverman, J.H. and J. Tate (1992). Rational Points
on Elliptic Curves. Springer Verlag.
Rob Tijdeman
Vakgroep Wiskunde, Universiteit Leiden
Professor Lenstra houdt een hoofdvoordracht over het ontbinden in factoren van grote getallen. Bij het schatten van de rekentijd van daarbij gebruikte methoden spelen `gladde getallen' een belangrijke rol. Een natuurlijk getal wordt glad genoemd als het samengesteld is uit kleine priemfactoren. Een manier om gladde getallen te tellen is met behulp van de functie ψ(x,y), dat is het aantal van positieve gehele getallen kleiner of gelijk aan x die geen priemdelers groter dan y hebben. Zo geldt ψ(20,3) = 10, want het gaat hier om de getallen 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16 en 18. De raadselen van het gedrag van ψ(x,y) zijn in de loop van deze eeuw ontrafeld door onder andere Dickson, De Bruijn en Hildebrand. In de voordracht worden de hoofdresultaten genoemd.
Tien jaar geleden drong het door dat ook het produkt van de verschillende priemfactoren van een getal, de zogenaamde radicaal, belangrijke informatie geeft. De radicaal van 100 is 10 (= 2 × 5), de radicaal van 99 is 33 (= 3 × 11) en die van 91 is 91 (= 7 × 13).
In de voordracht zullen enkele plaatjes over de verdeling van radicalen worden getoond. Vermoed wordt dat als de getallen a en b niet door hetzelfde priemgetal deelbaar zijn en beide een kleine radicaal hebben, de som a + b een grote radicaal heeft. Als dit vermoeden in geschikte vorm bewezen wordt, is tegelijkertijd de laatste stelling van Fermat en nog veel meer bewezen. Ook dit verband wordt in de voordracht gelegd. De vereiste voorkennis is wiskunde op het vwo 5-niveau.
De Laatste Stelling van Fermat (Syllabus uitgegeven in 1993 door het Wiskundig Genootschap in samenwerking met de Universiteit Utrecht).
Frits Beukers
Vakgroep Wiskunde, Universiteit Utrecht
Beschouw de vergelijking x2 - 5y2 = 1 met als bijzonderheid dat we alleen naar geheeltallige oplossingen x, y kijken. Eén oplossing ziet u waarschijnlijk meteen: x = 1, y = 0. Zijn er nog meer? Na enig zoeken vinden we x = 9, y = 4. Het blijkt zelfs dat we oneindig veel oplossingen kunnen vinden. Vergelijkingen waarbij we de onbekenden geheel veronderstellen noemen we diophantische vergelijkingen, naar de Griek Diophantos die ze voor het eerst systematisch bestudeerde. De restrictie `geheeltallige oplossing' maakt het altijd tot een verrassing of een diophantische vergelijking wel of geen, of misschien oneindig veel oplossingen heeft. Vorig jaar heeft Andrew Wiles bewezen dat als n > 2, de vergelijking xn + yn = zn geen oplossing in positief gehele x, y, z heeft. Hiermee werd een notoir 350-jarig probleem van Fermat opgelost. Wij zullen diophantische vergelijkingen van de vorm x2 + y3 = z7 of x2 + y3 = z5 iets nader bekijken. We zullen daarbij uitleggen waarom er zo'n groot verschil bestaat tussen deze twee genoemde vergelijkingen.
Bart de Smit
Vakgroep Wiskunde, Erasmus Universiteit, Rotterdam
De laatste stelling van Fermat, die eigenlijk ``het vermoeden van Fermat'' zou moeten heten, zegt dat voor geen enkel geheel getal n > 2 er positieve gehele getallen a, b en c bestaan zodat an + bn = cn.
Het vinden van een bewijs hiervoor is al 3 eeuwen één van de grootste uitdagingen in de wiskunde. De moderne getaltheorie is voor een belangrijk deel ontstaan uit pogingen om dit vermoeden te bewijzen.
Gerd Faltings heeft in 1983 een zeer algemeen resultaat bewezen, dat impliceert dat er voor vaste n > 2 maar eindig veel drietallen (a,b,c) bestaan waarvoor geldt dat ggd(a,b,c) = 1 en an + bn = cn.
In juni 1993 kondigde Andrew Wiles aan, dat hij de laatste stelling van Fermat kon bewijzen. Hij had er zeven jaar in stilte aan gewerkt. Het manuscript werd echter geheim gehouden, en in december 1993 trok Wiles zijn claim weer in. Nu ziet het ernaar uit dat hij met hulp van Richard Taylor zijn bewijs gerepareerd heeft.
In oktober 1994 is de tekst van deze nieuwe versie van het bewijs openbaar gemaakt.
Het is zeer gecompliceerd en het gebruikt veel geavanceerde resultaten uit de literatuur.
Het doel van deze voordracht is om met elementaire middelen een indruk te geven van de ideeën die aan het bewijs ten grondslag liggen.