Thema wiskunde, voorspellen en beslissen

`De Duitse en de Nederlandse spoorwegen hebben zeer uiteenlopende verwachtingen over de omvang van het goederenvervoer per spoor.'
`Intel schat dat de frequentie waarin de fout in hun Pentium-chip voorkomt gemiddeld eens in de 27.000 jaar is. Volgens IBM kan de fout bij ingewikkelde berekeningen al één keer in de 24 dagen optreden.'
`De economische groei in 1995 zal drie procent van het bruto binnenlands produkt bedragen.'
`De kans op kernsmelting in een reactor is 1/20.000 per jaar.'
`Morgen is er 75% kans op regen.'

Bij allerlei voorspellingen worden wiskundige modellen gebruikt. De lezingen in dit thema bekijken de problematiek rond voorspellen en beslissen vanuit verschillende invalshoeken.

Bij voorspellingen is het niet altijd mogelijk om gebruik te maken van ervaringen of simulaties. In dergelijke gevallen moeten voorspellingen gebaseerd worden op uitspraken van experts. Cooke geeft aan welke problemen dan naar voren komen en hoe je expert-meningen kunt combineren tot een `betrouwbare' voorspelling.

Het Centraal Planbureau maakt bij haar voorspellingen gebruik van analyses van de nationale economie en econometrische modellen. Van Nes zal in gaan op de aard en de verscheidenheid van deze modellen.

Inzichten en resultaten uit de speltheorie hebben een belangrijke bijdrage geleverd aan de moderne economische wetenschap. In de economie moet je immers rekening houden met het gedrag van partners, concurrenten en consumenten. Een beslissing wordt genomen op grond van voorspellingen over elk van de deelnemers aan de economie. Dit lijkt op een beslissing van een speler in een spel met andere spelers. Van Damme legt uit wat speltheorie is en waaruit die bijdrage aan de economische wetenschap bestaat.

Tot slot zal Takens enkele voorbeelden geven van systemen waarbij een kleine verandering in de beginsituatie enorme gevolgen kan hebben. Aan de hand van deze voorbeelden laat hij zien dat er ook grenzen aan de voorspelbaarheid zijn. Bovendien zal hij ingaan op de praktische betekenis van deze grenzen.

 

Subjectieve waarschijnlijkheid

Roger Cooke
Technische Wiskunde en Informatica, Technische Universiteit Delft

Bij voorspellingen doet men meestal geen absolute uitspraken, maar geeft men aan wat de kans is op een bepaalde gebeurtenis. Die kans is nauwkeurig te berekenen wanneer het gaat om gebeurtenissen die zich regelmatig hebben herhaald. Vaak is dit niet het geval, bijvoorbeeld bij een risico-analyse voor een kerncentrale. In dergelijke situaties maakt men meestal gebruik van voorspellingen door experts.

Het probleem is dat voorspellingen door experts vaak enorm blijken te verschillen. De vraag is hoe je die meningen kunt combineren. De theorie over subjectieve kansen biedt een mechanisme om met expert-meningen om te gaan. Het gebruik van expert-meningen zal worden geïllustreerd met data uit een recent onderzoek, uitgevoerd in opdracht van de Europese Commissie in samenwerking met de US Nuclear Regulatory Commission.

Tijdens deze lezing zullen enkele aspecten van subjectieve waarschijnlijkheid aan de orde komen. Deskundigen geven maar al te vaak hun privé-mening zonder argumentatie als een wetenschappelijk oordeel. De theorie van subjectieve waarschijnlijkheid is een krachtig instrument om de deskundigheid van de experts te toetsen. De grafiek hieronder is een typisch voorbeeld van een empirische ijking van een overmoedige expert: zijn uitspraken met een lage toegekende kans komen te vaak uit en zijn uitspraken met een hoge toegekende kans niet vaak genoeg.

 

literatuur en bronnen
Cooke, R.M. (1991). Experts in Uncertainty: Expert Opinion and Subjective Probability in Science. Oxford: University Press.
Kahneman, D., P. Slovic and A. Tversky (eds.) (1982). Judgement under Uncertainty: Heuristics and Biases. Cambridge: University Press.
Raiffa, H. (1968). Decision Analysis, Reading Mass: Addison Wesley.

 

Hoe het Centraal Planbureau bijdraagt aan voorspellen en beslissen in de Nederlandse economie

Floor van Nes
Toegepaste Wiskunde en Informatica, Centraal Planbureau, Den Haag

Het Centraal Planbureau is een wetenschappelijk onderzoeksinstituut van de Rijksoverheid. Taak van het CPB is het maken van analyses van de nationale economie en van ramingen van het toekomstig verloop van economische grootheden in hun onderlinge samenhang. De analyses moeten relevant zijn voor beleidsvragen van de overheid. Het CPB gebruikt daarvoor een aantal wiskundige, of preciezer gezegd, econometrische modellen. Met deze modellen worden simulaties gemaakt van het macro-economische systeem. In de lezing wordt aandacht besteed aan aard en verscheidenheid van deze modellen. In de empirische macromodellen die worden gebruikt speelt chaostheorie geen rol.

De rol die wiskundige modellen via CPB-prognoses in Nederland spelen bij het nemen van beslissingen door de Rijksoverheid is betrekkelijk uniek in de wereld. Tijdens de lezing wordt uitgelegd hoe dit proces in de praktijk werkt bij het opstellen van de Rijksbegroting. Beslissingen worden niet direct door, of op basis van een wiskundig model genomen. Het beslissingsproces zelf is dan ook niet wiskundig gemodelleerd. De resultaten van de wiskundige modellering van de economie spelen wel een belangrijke rol in het beslissingsproces. Daarbij spelen voorspellingsvarianten in de praktijk een grotere rol dan de voorspelling zelf.

literatuur en bronnen
Central Planning Bureau, FKSEC (1992). A macro-econometric model for The Netherlands. Leiden: Stenfert Kroese.
Centraal Planbureau, FKSEC (1992). Variantenboek. Leiden: Stenfert Kroese.
Central Planning Bureau (1992). Scanning the future. The Hague: SDU publishers.

 

Speltheorie

Eric van Damme
Katholieke Universiteit Brabant, Tilburg

Speltheorie is een wiskundige theorie voor het modelleren en analyseren van beslissingssituaties waarin meerdere beslissers samen de uitkomst bepalen. In zo'n beslissingssituatie (spel) moet iedere beslisser een voorspelling maken over wat elk van de andere spelers zal gaan doen. De speltheorie onderzoekt onder welke voorwaarden er situaties (evenwichten) bestaan waarin iedereen juist voorspelt en, gegeven dat iedereen juist voorspelt, toch niemand van de voorspelling wil afwijken.
De theorie werd ontwikkeld door John von Neumann in de jaren twintig van deze eeuw. De eerste toepassingen in de economie werden beschreven in het boek Theory of Games and Economic Behavior dat Von Neumann samen met de econoom Oskar Morgenstern schreef. Afgelopen jaar (1994) werd de Nobelprijs in de economie aan drie speltheoretici (wiskundigen) John Nash, John Harsanyi en Reinhard Selten toegekend. Deze prijs kan gezien worden als erkenning van het feit dat de moderne economische theorie zonder het speltheoretische instrumentarium ondenkbaar is.
In de voordracht wordt besproken wat speltheorie is en wat de theorie voor inzichten aan de economische wetenschap heeft bijgedragen. De volgende voorbeelden worden aangestipt:

literatuur en bronnen
Dixit, A. and B. Nalebuff (1991). Thinking Strategically. New York: W.W. Norton & Co. Inc. Schelling, T. (1960). The Strategy of Conflict. Cambridge MA: Harvard University Press.
Poundstone, W. (1993). Prisoner's dilemma. In: John von Neumann. Game Theory and the Puzzle of the Bomb. Oxford: University Press.
Axelrod, R. (1984). The Evolution of Cooperation. New York: Basic Books.
Sigmund, K. (1993). The Game of Life. Oxford: University Press.
Dawkins, R. (1976). The Selfish Gene. Oxford: University Press.

Thinking Strategically is een elementaire inleiding in de speltheorie op vwo 6-niveau. Geeft referenties voor verdere studie.
The Strategy of Conflict is een informele beschrijving, geschikt om een aantal belangrijke onderhandelingsprincipes te leren.
Game Theory and the Puzzle of the Bomb is een biografie van John von Neumann, die ook op een aantal speltheoretische aspecten ingaat. Leest snel weg.
The Evolution of Cooperation is een klassieker in de sociale wetenschappen. Wiskundig soms onjuist, maar een bron van inspiratie.
The Game of Life is een link tussen sociale wetenschappen en biologie.
The Selfish Gene is een informele toepassing van speltheorie op problemen van evolutie.

 

Gevoelige afhankelijkheid van begintoestand en grenzen van voorspelbaarheid

Floris Takens
Faculteit Wiskunde, Universiteit Groningen

Het is de bedoeling op verschillende voorbeelden in te gaan waarbij `gevoelige afhankelijkheid van begintoestand' bij deterministische systemen een rol speelt. Deze voorbeelden zullen gebruikt worden om de abstracte wiskundige concepten toe te lichten. We zullen ons hierbij niet beperken tot wiskundige voorbeelden, zoals de Logist, een wiskundig model uit de populatiedynamica, maar vooral ook ingaan op voorbeelden uit de `werkelijkheid' zoals de dobbelsteen, het weer, de beurskoersen en de `random generator' zoals die in een computer wordt gebruikt om het toeval te simuleren.
Daarna zullen we het verband aangeven tussen de gevoelige afhankelijkheid van begintoestanden en het `echte toeval'. Ten slotte zullen we proberen een analyse te geven van de praktische betekenis van deze concepten.

literatuur en bronnen
Gleick, J. Chaos: making a new science. Viking press.
Ekeland, I. Le calcul, l'imprévu. Edition du Seuil.
Stewart, I. Does God play dice? Penguin.

Dit zijn drie boeken voor algemeen publiek waarin de ideeën rond gevoelige afhankelijkheid van begintoestand uiteengezet worden. Het eerste is sterk journalistiek en concentreert zich duidelijk op de menselijke kant van de onderzoekers, het tweede geeft een meer filosofische beschrijving en bevat veel mooie voorbeelden, het derde is het meest wiskundig van aard en is een goede toegang tot verdere literatuur.

Peitgen, H.O. and P. H. Richter. The beauty of fractals. Springer-Verlag.

Hier gaat het vooral om fractalen maar wordt ook goed het verband gelegd met chaos (dat wil zeggen systemen met gevoelige afhankelijkheid van begintoestand). Dit boek bevat schitterende illustraties.