Thema wiskunde in de geschiedenis

`Hebt u wel eens van x gehoord?' Deze gedenkwaardige woorden sprak Hans Freudenthal op de avond van 24 november 1989 in hotel De Mallejan te Vierhouten tijdens een bijeenkomst over algebra.

De aanwezigen keken even verbaasd op: x en algebra is toch zoiets als een twee-eenheid? De werkelijkheid is dat er een tijd was dat nog niemand van x gehoord had, terwijl er wel al algebra was. Er was een tijd dat uit de pen van de statisticus beschrijvingen vloeiden, maar geen berekeningen, en zeker geen x . Wat zit er historisch gezien achter deze veranderingen? Wat hebben ze opgeleverd? Waar schiet de wiskund(ig)e echt iets mee op? Over deze vragen, toegespitst op algebra en statistiek, gaan de bijdragen in het kader van dit thema. Voor docenten, die constant veranderingen meemaken (in de leerplannen) en hun leerlingen begeleiden, lijken dat belangrijke vragen.

 

Een uitgebreide lijst met bronnen en literatuur die betrekking hebben op dit thema wordt tijdens de Nationale Wiskunde Dagen uitgereikt.

 

 

De met cijfers bedekte negentiende eeuw

Ida Stamhuis
Vrije Universiteit, Amsterdam

 

`Theorie der Statistiek of Staats-kunde' is de titel van een boek dat in 1807 werd uitgebracht door H.W. Tijdeman, hoogleraar in de statistiek aan de Leidse universiteit. Voor ons is het merkwaardig dat hij `statistiek' met `staatskunde' identificeerde en verder dat de statistiekcolleges die hij gaf niet verplicht waren voor wiskundigen of bijvoorbeeld sociale wetenschappers, maar wel voor juristen. Wat verstond hij eigenlijk onder statistiek? Een woordenboek uit 1826 omschreef statistiek als volgt:

`Statenkunde, statenbeschrijving, uit staatkundige oogpunten beschouwd. Zij (…) draagt dus den tegenwoordigen toestand van eenen staat voor (…). Hierdoor is zij een (…) leerrijk oefenschool voor den staatsman; alleen moet zij in geen bloot tabellenwerk en getalregisters ontaarden.' Niet teveel getallen dus, wel relevante kennis voor een toekomstige ambtenaar of politicus.

 

Statistiek was in het midden van `de met cijfers bedekte negentiende eeuw' een modieus vakgebied. Statistische gegevens hadden veel gezag en werden dan ook gebruikt om beweringen overtuigingskracht te geven. De `Lady with the Lamp', ofwel Florence Nightingale, gebruikte ze dan ook als zodanig. Ze beschouwde statistiek als de belangrijkste wetenschap in de hele wereld, omdat het de ervaring in exacte resultaten omzet. Ze verzamelde getallen en nog eens getallen om aan te tonen dat de sterfte onder soldaten meer veroorzaakt werd door deplorabele hygiënische omstandigheden dan door verwondingen op het slagveld. Om het de politici, voor wie ze haar rapporten schreef, zo makkelijk mogelijk te maken, bedacht ze nieuwe grafische representaties van het statistische materiaal, zodat ze in één oogopslag konden zien waarvan ze hen wilde overtuigen.

 

Aan het eind van de eeuw was er de bekende Engelse wetenschapper Francis Galton die een hartstochtelijke neiging had om alles in getallen uit te drukken: niet alleen zoiets als hoofdomvang en beenlengte maar hij definieerde ook een `vervelingscoëfficiënt' of een `schoonheidscoëfficiënt'. Hij werkte met de normale verdeling: vrouwen waren volgens hem één standaarddeviatie dommer dan mannen. Hij kwam met het idee van correlatie en van regressie naar het gemiddelde. Ook voor Galton was de statistiek een middel; hij wilde zijn genetische en eugenetische ideeën hierdoor kracht bijzetten.

Zo veranderde de statistiek in de loop van de tijd. De inhoud, die aanvankelijk heel breed was, versmalde zich. Er ontwikkelde zich een notatie waarbij symbolen een rol gingen spelen. Het zou echter tot in de twintigste eeuw duren voor er een vak mathematische statistiek ontstond. Een centraal begrip werd de stochastische grootheid X, die als jongere broer van Descartes' x kan worden beschouwd.

 

 

Cohen, I.B. (1984). Florence Nightingale. Scientific American 250 (3), 98-107.
Diamond, M. and M. Stone (1984). Nightingale on Quetelet (Part 1). Journal of the Royal Statistical Society A 144, 66-79.
Hacking, I. (1990). The taming of chance. Cambridge: Cambridge University Press.
Porter, T. M. (1986). The rise of statistical thinking, 1820-1900. Princeton: Princeton University Press.
Stamhuis, I.H. (1989). Cijfers en Aequaties en kennis der staatskrachten. Statistiek in Nederland in de negentiende eeuw. Amsterdam: Rodopi, 295 pp.
Stamhuis, I.H. en A. de Knecht-van Eekelen (red.) (1992). De met cijfers bedekte negentiende eeuw. Toepassing van statistiek en waarschijnlijkheidsrekening in Nederland en Vlaanderen tussen 1840 en 1920. Themanummer van Gewina, tijdschrift voor de geschiedenis der geneeskunde, natuurwetenschappen, wiskunde en techniek. Rotterdam: Erasmus Publishing, 78 pp.
Stigler, S.M. (1986). The history of Statistics. The measurement of uncertainty before 1900. Cambridge: Cambridge University Press.

 

 

De wortels van de algebra

Jan Hogendijk
Vakgroep Wiskunde, Universiteit Utrecht

 

Deze lezing gaat over de geschiedenis van de kwadratische vergelijking in de Babylonische en Arabische cultuur. De lezing is toegankelijk voor iedereen die kwadratische vergelijkingen kan oplossen. We zullen eerst een Babylonisch kleitablet uit omstreeks 2000 voor Chr. behandelen, waarop een kwadratische vergelijking wordt opgelost. Dit zullen we vergelijken met een gedeelte van het leerboek over algebra van de Arabische wiskundige al-Khwarizmi (ca. 830).

Teksten en vertalingen zullen aan de deelnemers worden uitgereikt. Ook zullen we ingaan op het feit dat de algebra uitgebreid bestudeerd werd in zowel de Babylonische als de Arabische cultuur, hoewel het vak geen maatschappelijke relevantie had en er nauwelijks serieuze toepassingen van de algebra in andere wetenschappen bestonden.

 

 

Neugebauer, O. (1935-1937). Mathematische Keilschrift-Texte, 3 delen. Berlin.
Neugebauer, O. (1957). The exact sciences in antiquity. Providence.
Rosen, F. (ed.) (1831). The algebra of Mohammed ben Musa (al-Khwarizmi). London.
Scholz, E. (1990). Geschichte der Algebra, eine Einfuehrung. Mannheim: B.I. Wissenschaftsverlag.
Waerden, B.L. van der (1950). Ontwakende wetenschap. Egyptische, Babylonische en Griekse wiskunde. Groningen.

 

 

 

Toen x nog een grote onbekende was

Marjolein Kool
Domstad Akademie, Utrecht

 

Twee vrienden, Willem en Wouter, willen een paard van zestig gulden kopen. `Geen punt', zegt Willem, `leen mij van jouw geld en ik betaal dat paard wel even.' `Nee', zegt Wouter, `leen mij van jouw geld en ik zal het beestje betalen.' Hoeveel geld bezaten de beide vrienden?

 

Je hoeft niet veel van wiskunde te weten om dit vraagstukje uit het rekenmanuscript van Christianus van Varenbraken (1523) op te kunnen lossen. Je stelt een stelsel vergelijkingen op en daar rolt al snel het goede antwoord uit. Christianus van Varenbraken maakte echter bij het oplossen van dit vraagstuk geen gebruik van een stelsel van vergelijkingen; x was voor hem nog een onbekende. Daarin was hij geen uitzondering, ook zijn zestiende-eeuwse collega's rekenboek-schrijvers losten de ingewikkeldste vraagstukken op met `handig rekenen'. Slechts een enkele rekenmeester maakte destijds gebruik van de Regula Cos, de algebra. Daar zal ik op het eind van mijn lezing een voorbeeld van laten zien.

 

Tijdens mijn lezing ontmoeten we niet alleen paardenkopers, we maken ook kennis met een man op zijn sterfbed, een vrouw die bevalt van een hermafrodiet, een vrijster in een appelboomgaard en nog vele andere curieuze hoofdrolspelers in zestiende-eeuwse vraagstukken. Ik hoop de wiskundeleraren die naar mij komen luisteren zo te inspireren met bizarre verhalen en fraaie staaltjes rekenkunst, dat ze net als ik af en toe een stukje geschiedenis in hun wiskundeles zullen gaan toepassen. Vandaar ook dat iedereen die komt luisteren een pakketje materiaal mee naar huis krijgt.

Ik ben ervan overtuigd dat het voor sommige leerlingen een troost zal zijn als ze ontdekken dat algebra ook maar een keuze is geweest en dat je ook zonder x op veel vragen een antwoord kunt vinden. Zelfs op de vraag: wat is er nou zo leuk aan wiskunde?

 

 

Arrighi, G. (1964). Trattato d'arithmetica. Pisa.
Arrighi, G. (1969). Trattato di aritmetica. Florence.
Deschauer, S. (1992). Das zweite Rechenbuch von Adam Ries. Braunschweig.
Flegg, G. (1985). Nicolas Chuquet: Renaissance mathematician. Dordrecht.
Kool, M. (1988). Christianus van Varenbrakens Die Edel Conste Arithmetica. Brussel.
The Mathematical Gazette, vol. 76, nr. 475, maart 1992.
Swets, F. (1987). Capitalism and Arithmetic: The New Math of the 15th century. La Salle.
Tropfke, J. (1980). Geschichte der Elementarmathematik. `Das angewandte Rechnen', p. 513-660. New York.
Vogel, K. (1954). Die Practica des Algorismus Ratisbonensis. München.
Vogel, K. (1977). Ein italienisches Rechenbuch aus dem 14. Jahrhundert. München.

 

 

Hebt u wel eens van z gehoord?

Jan van Maanen
Faculteit Wiskunde, Universiteit Groningen

 

Vergelijkingen zijn van alle tijden. De taal waarin ze gesteld werden veranderde, van een volledige zin over onbekende getallen tot een zin met daarin een aantal afkortingen, en van daaruit stap voor stap tot een sliert symbolen die getallen, operaties en relaties voorstellen. Dit proces verliep niet lineair. Zo noteerde Diophantus (rond 250 na Chr.) machten van de onbekenden al met korte symbolen, terwijl middeleeuwse Arabische en zestiende-eeuwse Italiaanse algebrateksten vergelijkingen wel weer voluit schreven. Van getallenraadsels werd het algebra doordat wiskundigen (vooral de Arabische) inzagen dat vergelijkingen in te delen waren in typen, die elk een vaste manier van oplossen kenden of die zich hardnekkig tegen een oplossing bleven verzetten (zoals de derdegraads vergelijking).

In de zestiende eeuw raakte de algebra in een stroomversnelling, en dat is, na een korte terugblik op het voorafgaande, ook het punt waarop we de draad zullen oppakken. Italiaanse rekenmeesters deden grote stappen voorwaarts, met Cardano's Ars Magna (De Grote Kunst, 1545) en Bombelli's Algebra (1572) als hoogtepunten. De Fransman Viète voerde aan het einde van de eeuw een consequente half-symbolische notatie in (met A, E, I,… als onbekenden en medeklinkers als constanten), en droeg nieuwe oplossingsmethoden en nieuwe problemen aan. De wiskunde van Fermat was op de leest van Viète geschoold, en rond 1630 wist Fermat dat je krommen in het platte vlak kunt voorstellen met een vergelijking in A en E, maar hij maakte dat niet wereldkundig. Werk van Fermat circuleerde in handgeschreven kopieën, maar alleen voor de incrowd.

Anders was het met het wiskundige werk van Descartes. Als dat niet zo was geweest had onze huidige wiskunde er misschien wel heel anders uitgezien! In Descartes' verhandeling uit 1637 over het verband tussen algebra en meetkunde, kortweg Géométrie geheten, vinden we het antwoord op de vragen: waar komt onze x vandaan, waarom is die ingevoerd? Merkwaardig genoeg was er, voordat de x opdook, bij Descartes eerst een z, want consequent als hij was in het kiezen van constanten uit het begin van het alfabet en variabelen uit het eind, nam Descartes voor problemen met één onbekende in de Géométrie voor de onbekende aanvankelijk de letter z.

We gaan dat allemaal van dichtbij bekijken. Het meeste zal verteld worden aan de hand van oorspronkelijke teksten uit die tijd, zodat iedereen zich een beetje historicus kan voelen en terug op school de jeugd zal kunnen berichten over resultaten van eigen `onderzoek'.

Deelnemers aan deze werkgroep krijgen een uitgebreide literatuurlijst uitgereikt. De lijst is samengesteld voor gebruik in de bibliotheek van het Mathematisch Instituut van de Universiteit Utrecht (Budapestlaan 6, De Uithof), maar veel boeken zullen ook in andere bibliotheken te vinden zijn.

 

 

Maanen, J.A. van (1989).`avant la lettre'. In: A.W. Grootendorst (ed.), Vacantiecursus 1983. Complexe getallen. CWI Syllabus 15, Amsterdam, pp 1-24.
Maanen, J.A. van (1987). Facets of seventeenth century mathematics in The Netherlands. Dissertatie Utrecht.
Scholz. E. (Ed.) (1990). Geschichte der Algebra. Eine Einführung. Mannheim.
Smith, D.E. & M.L. Latham (Eds.) (1954). The Geometry of René Descartes. With a facsimile of the first edition. New York.

 

 

Thema wiskunde om de wiskunde

Getaltheorie is ontstaan uit nieuwsgierigheid naar de eigenschappen van de getallen 1, 2, 3, 4, 5, ... Of, zoals Brouwer het formuleerde in zijn dissertatie:

`Een, twee, drie, ... zo begint de wiskunde; wellicht in de ontwikkeling van de mensheid, wellicht in de ontwikkeling van het kind.'

Een bijzonder aspect van de getaltheorie is het feit dat zowel `professionals' als `amateurs' zich door de tijden heen met groot enthousiasme op dit vakgebied binnen de wiskunde gestort hebben. Alleen dat feit al maakt dit onderwerp buitengewoon geschikt voor de Nationale Wiskunde Dagen. De reden dat amateurs en leken zich zozeer door getaltheorie voelen aangetrokken ligt vooral ook in het feit dat de problemen zo voorstelbaar zijn. Dat geldt in aanmerkelijk mindere mate voor de oplossingen. De stelling van Fermat is hier een goed voorbeeld van.

Tot het midden van onze eeuw werd getaltheorie beschouwd als de zuiverste van de wiskundige disciplines. Dat is nu definitief voorbij. Getaltheorie is door de opkomst van digitale technieken een vak geworden met vele toepassingen. Anderzijds hebben computers het mede mogelijk gemaakt dat getaltheoretici onwaarschijnlijk grote ontbindingen in factoren hebben kunnen uitvoeren en reusachtige priemgetallen hebben kunnen vinden.

De lezingen over dit thema zullen iets laten zien van de fascinatie die getaltheorie kan oproepen. Onder andere de meest recente stand van zaken rond het bewijs van de stelling van Fermat zal aan de orde komen.

Van der Blij sprak in zijn afscheidscollege niet zonder reden van het `Wonder-Raadselrijk der Getaltheorie'.

 

 

In en om de theorie van derdegraads vergelijkingen

Jaap Top

Faculteit Wiskunde, Universiteit Groningen

 

Onder `derdegraads vergelijkingen' zullen we met name verstaan vergelijkingen van de gedaante y = x3 + ax2 + bx + c, in de onbekenden x en y, voor vaste a, b en c. Hierbij eisen we dan ook nog, dat het gegeven derdegraads polynoom in x geen meervoudige nulpunten heeft.

Zowel binnen (in) de theorie hierover, als vanuit (om) die theorie hebben recent nogal wat ontwikkelingen plaatsgevonden. We hopen dit aan de hand van een tweetal voorbeelden te illustreren.

Een voorbeeld binnen de theorie: hoewel misschien niet de belangrijkste ontdekking op dit gebied gedurende de afgelopen tien jaar, levert een resultaat van J.-F. Mestre (1991) hier een fraai voorbeeld. Het resultaat zegt iets over hoe ingewikkeld de verzameling oplossingen in rationale getallen x en y kan zijn, wanneer de a, b, c ook rationaal gekozen waren. Men kan namelijk uit gegeven oplossingen nieuwe construeren door de verzameling van alle oplossingen te zien als een kromme in het x, y-vlak, en dan lijnen in dat vlak die twee punten op de kromme verbinden opnieuw te snijden met de kromme. (Al met wiskunde uit de derde en vierde klas kunnen met het genoemde proces heel ingewikkeld ogende oplossingen gemaakt worden!).

Ruim zeventig jaar geleden is aangetoond dat er altijd een eindige verzameling punten met rationale coördinaten bestaat, zodat alle overige punten met het zojuist beschreven proces hieruit te construeren zijn. Mestre toont aan dat er voor oneindig veel essentieel verschillende tripels a, b, c in dit proces tenminste twaalf `beginpunten' nodig zijn. Het bewijs berust in wezen op dezelfde technieken waarmee Fermat in de zeventiende eeuw oplossingen van analoge vergelijkingen construeerde, en dat is op zijn beurt in feite niets anders dan de techniek van het `kwadraat afsplitsen' die ons in de onderbouw van de middelbare school wordt aangeleerd.

Als voorbeeld van een toepassing wordt in het kort iets over het ontwerpen van fouten-verbeterende codes verteld.

 

 

De Laatste Stelling van Fermat (Syllabus uitgegeven in 1993 door het Wiskundig Genootschap in samenwerking met de Universiteit Utrecht).

Silverman, J.H. and J. Tate (1992). Rational Points on Elliptic Curves. Springer Verlag.

 

 

Gladde getallen

Rob Tijdeman

Vakgroep Wiskunde, Universiteit Leiden

 

Professor Lenstra houdt een hoofdvoordracht over het ontbinden in factoren van grote getallen. Bij het schatten van de rekentijd van daarbij gebruikte methoden spelen `gladde getallen' een belangrijke rol. Een natuurlijk getal wordt glad genoemd als het samengesteld is uit kleine priemfactoren. Een manier om gladde getallen te tellen is met behulp van de functie ψ(x,y), dat is het aantal van positieve gehele getallen kleiner of gelijk aan x die geen priemdelers groter dan y hebben. Zo geldt ψ(20,3) = 10, want het gaat hier om de getallen 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16 en 18. De raadselen van het gedrag van ψ(x,y) zijn in de loop van deze eeuw ontrafeld door onder andere Dickson, De Bruijn en Hildebrand. In de voordracht worden de hoofdresultaten genoemd.

Tien jaar geleden drong het door dat ook het produkt van de verschillende priemfactoren van een getal, de zogenaamde radicaal, belangrijke informatie geeft. De radicaal van 100 is 10 (= 2 × 5), de radicaal van 99 is 33 (= 3 × 11) en die van 91 is 91 (= 7 × 13).

In de voordracht zullen enkele plaatjes over de verdeling van radicalen worden getoond. Vermoed wordt dat als de getallen a en b niet door hetzelfde priemgetal deelbaar zijn en beide een kleine radicaal hebben, de som a + b een grote radicaal heeft. Als dit vermoeden in geschikte vorm bewezen wordt, is tegelijkertijd de laatste stelling van Fermat en nog veel meer bewezen. Ook dit verband wordt in de voordracht gelegd. De vereiste voorkennis is wiskunde op het vwo 5-niveau.

 

 

De Laatste Stelling van Fermat (Syllabus uitgegeven in 1993 door het Wiskundig Genootschap in samenwerking met de Universiteit Utrecht).

 

 

Vergelijkingen in de gehele getallen

Frits Beukers

Vakgroep Wiskunde, Universiteit Utrecht

 

Beschouw de vergelijking x2 - 5y2 = 1 met als bijzonderheid dat we alleen naar geheeltallige oplossingen x, y kijken. Eén oplossing ziet u waarschijnlijk meteen: x = 1, y = 0. Zijn er nog meer? Na enig zoeken vinden we x = 9, y = 4. Het blijkt zelfs dat we oneindig veel oplossingen kunnen vinden. Vergelijkingen waarbij we de onbekenden geheel veronderstellen noemen we diophantische vergelijkingen, naar de Griek Diophantos die ze voor het eerst systematisch bestudeerde. De restrictie `geheeltallige oplossing' maakt het altijd tot een verrassing of een diophantische vergelijking wel of geen, of misschien oneindig veel oplossingen heeft. Vorig jaar heeft Andrew Wiles bewezen dat als n > 2, de vergelijking xn + yn = zn geen oplossing in positief gehele x, y, z heeft. Hiermee werd een notoir 350-jarig probleem van Fermat opgelost. Wij zullen diophantische vergelijkingen van de vorm x2 + y3 = z7 of x2 + y3 = z5 iets nader bekijken. We zullen daarbij uitleggen waarom er zo'n groot verschil bestaat tussen deze twee genoemde vergelijkingen.

 

 

Recente geschiedenis van de laatste stelling van Fermat

Bart de Smit

Vakgroep Wiskunde, Erasmus Universiteit, Rotterdam

 

De laatste stelling van Fermat, die eigenlijk ``het vermoeden van Fermat'' zou moeten heten, zegt dat voor geen enkel geheel getal n > 2 er positieve gehele getallen a, b en c bestaan zodat an + bn = cn.

Het vinden van een bewijs hiervoor is al 3 eeuwen één van de grootste uitdagingen in de wiskunde. De moderne getaltheorie is voor een belangrijk deel ontstaan uit pogingen om dit vermoeden te bewijzen.

 

 

Gerd Faltings heeft in 1983 een zeer algemeen resultaat bewezen, dat impliceert dat er voor vaste n > 2 maar eindig veel drietallen (a,b,c) bestaan waarvoor geldt dat ggd(a,b,c) = 1 en an + bn = cn.

 

In juni 1993 kondigde Andrew Wiles aan, dat hij de laatste stelling van Fermat kon bewijzen. Hij had er zeven jaar in stilte aan gewerkt. Het manuscript werd echter geheim gehouden, en in december 1993 trok Wiles zijn claim weer in. Nu ziet het ernaar uit dat hij met hulp van Richard Taylor zijn bewijs gerepareerd heeft.

In oktober 1994 is de tekst van deze nieuwe versie van het bewijs openbaar gemaakt.

Het is zeer gecompliceerd en het gebruikt veel geavanceerde resultaten uit de literatuur.

Het doel van deze voordracht is om met elementaire middelen een indruk te geven van de ideeën die aan het bewijs ten grondslag liggen.

 

 

 

Niet thema-gebonden presentaties

Naast de vijf thema's zijn er ook acht sessies die niet gebonden zijn aan een van deze thema's. Deze werkgroepen en presentaties zijn verdeeld in twee categorieën. De eerste betreft de discipline wiskunde en sessies in de tweede categorie gaan over wiskundeonderwijs.

 

 

Virussen en computers

Henk Barendregt

Katholieke Universiteit, Nijmegen

CWI, Amsterdam

 

Virussen zijn moleculen die zichzelf reproduceren wanneer ze zich binnen een levende cel bevinden. Hierdoor wordt de stofwisseling van de cel verstoord.

In veel gevallen zal het immuunsysteem van de cel het virus onschadelijk maken. Wanneer het virus echter het immuunsysteem zelf verstoort, is dit soms niet mogelijk.

Beide soorten virussen komen (in de vorm van software) ook voor in de wereld van computers. Aangetoond zal worden dat er geen universele remedie tegen bestaat.

 

 

Wiskunde, een geesteswetenschap

S.J. Doorman

Faculteit Wijsbegeerte, Erasmus Universiteit Rotterdam

 

Wiskunde wordt meestal als vanzelfsprekend tot de β-wetenschappen gerekend. Ook het onderwijs in de wiskunde is doordrenkt van deze opvatting en helpt derhalve mee haar te bevestigen.

Tegen deze achtergrond zal worden getracht aannemelijk te maken dat het aanbeveling verdient wiskunde op te vatten als een α-wetenschap.

 

 

Discrete analyse

H.J.A. Duparc

Technische Universiteit Delft

 

Het gedrag van geleidelijk veranderde verschijnselen v = v(t) kan vaak nuttig worden beschreven met behulp van de afgeleide , soms met groot nut ook wel geschreven als Dv. In analogie daarmee kunnen de lotgevallen van discreet veranderende verschijnselen v = vn vaak nuttig worden beschreven met behulp van de differentie-operator Δ:
Δvn = vn+1 − vn.

Het is boeiend, leerzaam en nuttig om de overeenkomst en het verschil tussen de operatoren D en Δ te bestuderen. Het blijkt voorts nuttig om naast de operator Δ ook de operator E met effect Evn = vn+1 in te voeren. Men heeft dan Δ = E − 1; E = Δ + 1.

Vier kernonderdelen van de continue analyse hebben hun pendant in de discrete analyse volgens onderstaand staatje:

I

differentiëren

differentie nemen

II

integreren

sommeren

III

differentiaalvergelijkingen

differentievergelijkingen

IV

Laplace-transformaties

z-transformaties

 

Opgemerkt dient nog te worden dat differentievergelijkingen (relaties tussen een functie v en haar differenties Δv, Δ2v, …) kunnen worden herschreven als relaties tussen vn , vn+1, vn+2 , … en dus te beschouwen zijn als recurrente relaties.

Doordat bij de operator Δ, in tegenstelling tot de operator D, het limietbegrip geen rol speelt, zijn sommige afleidingen enerzijds eenvoudiger, anderzijds zijn bepaalde formules mede daardoor ingewikkelder.

Vooraf aan de werkgroep wordt een aantal problemen uitgedeeld die bovengenoemde problematiek illustreren.

 

 

Invloed, conflict en contact in de meetkunde

Dirk Siersma

Vakgroep Wiskunde, Universiteit Utrecht

 

 

Wiskundig bekijken we afstanden tot diverse objecten in het vlak of de ruimte (punten, lijnen, cirkelschijven, bollen, eilanden in de zee). Punten die dichter bij een object A liggen dan bij andere objecten behoren tot de invloedsfeer van A. De randen ervan zijn de conflictgebieden.

Voorbeelden leveren als conflictverzamelingen: middelloodlijnen, bissectrices, parabolen, zadelvlakken, enzovoort. Daarnaast komen `drielandenpunten' veelvuldig voor, maar soms ook ingewikkelder conflictpunten.

 

Er zijn verbanden met ingeschreven en omschreven cirkels, de cirkels van Apollonius, maar ook met Voronoi-betegelingen in het vlak, enzovoort.

 

 

Kun je op computeralgebra rekenen?

André Heck

Expertisecentrum Computer Algebra Nederland, Amsterdam

 

Het ultieme doel van computeralgebra is het automatiseren van wiskunde. De hiervoor benodigde software, bekend onder de naam computeralgebra-systeem, is bedoeld als werkomgeving voor het uitvoeren van wiskundige en technische berekeningen. Binnen zo'n moderne werkomgeving krijgen symbolisch rekenen, numeriek rekenen, grafiek, documentatie en aansluiting met andere software grote aandacht.

 

In deze presentatie gaan we met de vraag `Wat heb ik nu aan computeralgebra?' in het achterhoofd, in op aspecten van gebruik van een computeralgebra-systeem als werkomgeving. Niet alleen de kwaliteit van de geleverde wiskunde komt aan bod via concrete voorbeelden, maar ook het bedieningsgemak en de vraag voor welke problemen de gebruiker en de softwaremaker zich vanuit verschillend perspectief gesteld zien.

 

 

Bij gebruiksaspecten kunt u denken aan zaken als: Hoe behoud ik overzicht over een formule, hoe vereenvoudig ik wiskundige formules, hoe manipuleer ik een onderdeel van een formule, hoe omzeil ik automatische vereenvoudigingen?

 

In[1] := Sin[a+b+c] /. Sin[x-+y-] -> Sin[x]Sin[y] + Cos[x]Sin[y]
Out[1] = Cos[a] Sin[b+c] + Sin[a] Sin[b+c]
In[2]: = Sin[a+b+c] //. Sin[x-+y-] -> Sin[x]Sin[y] + Cos[x]Sin[y]
Out[2] = Cos[a] (Cos[b] Sin[c] + Sin[b] Sin[c]) +
> Sin[a] (Cos[b] Sin[c] + Sin[b] Sin[c])

 

 

Mag het een beetje inspirerend zijn?

Nora Blom, Hogeschool van Amsterdam, Amsterdam

Regien Bosman, Zernike College, Groningen

 

Mevrouw Rose Flower werd in Engeland in 1991 uitgeroepen tot `Maths Teacher of the Year'. Op het prikbord in haar klas hangen prachtige symmetrische figuren. Daartussen hangt een bordje met de uitspraak van - alweer - de Engelse wiskundige G.H. Hardy:

A Mathematician, like a Painter or a Poet, is a Maker of Patterns.

 

Dat is een uitspraak die wij van harte onderschrijven. Nu een groter beroep wordt gedaan op de zelfstandigheid van leerlingen, `de leerlingen aan het werk', wordt de rol van de docent meer voorwaarden-scheppend. De aankleding van het lokaal, de keuze van de leerstof en het werken met materiaal zijn daarbij belangrijke elementen. Het zijn de voorwaarden die ervoor zorgen dat de leerling met plezier werkt en dat er wat geleerd wordt.

 

Sommige scholen hebben keuze-uren: uren waarop leerlingen kiezen welk vak ze volgen en met welk onderwerp ze daarin bezig willen zijn. In dit keuze-uur van deze wiskundedagen kiezen wij voor het onderwerp: Regelmaat en Symmetrie. Een onderwerp dat een beroep doet op het gevoel voor schoonheid binnen het vak wiskunde. Wij zullen onder andere ingaan op de volgende vragen:

 

Kortom, wordt er op school voldoende aandacht besteed aan de esthetische kant van wiskunde?

 

Albern, K. e.a. The language of pattern.

Bain, G. Celtic Art.

Bourgoin, J. Arabic geometrical pattern and design.

Fäustler, A. Perspectief en projectie.

Hildebrandt, S. en A. Tromba (1985). Natuur en techniek. Maastricht / Brussel.

Jansen, P. en R. Kock. Informatica met logo. Enschede: SLO.

Lauwerier, H. (1988). Symmetrie. Amsterdam: Aramith Uitgevers.

Lauwerier, H. Fractals.

Lawler, R. Sacred geometry.

Locher, J. L. Leven en werk van M.C. Escher.

Meeder, M. e.a. (1987). Vriendelijke wiskunde. Amsterdam: Werkgroep Vrouwen en Wiskunde.

Meeder, M. en H. Verhage (1989). Regelmaat en symmetrie (leerlingenmateriaal en docentenhandleiding). Utrecht / Enschede: Freudenthal instituut / SLO.

Speltz, A. The styles of ornament.

 

 

Wiskunde en beroep

Bernadette van den Anker

SG Echnaton, Almere

 

`Welke wiskunde heb je later nodig?', `Wat moet ik hier nu mee?' Het zijn vragen die iedere docent vroeg of laat te beantwoorden krijgt.

In deze workshop worden geen antwoorden op deze vragen gegeven, maar hooguit aanwijzingen die te maken hebben met de toekomst van de wiskundeleerling. Het gaat om keuzebegeleiding in de les. Voor de leerling staat de volgende vraag centraal:

Welke wiskunde heb ik nodig in mijn toekomstig beroep?

 

De lessen die daarvoor geschreven zijn, zijn gebaseerd op materiaal dat ontwikkeld is door `Vrouwen en Wiskunde'. Deze lessen zijn dit schooljaar gegeven in de tweede klas van een brede scholengemeenschap.

Het materiaal is geschikt voor leerlingen van ivbo tot en met vwo.

 

 

Computernetwerken. Niets voor het onderwijs?

Sieb Kemme, Lettelbert

Han Hermsen, Freudenthal instituut, Universiteit Utrecht

 

In deze presentatie wordt met demonstraties ingegaan op de mogelijkheden die computernetwerken het onderwijs al te bieden hebben en in de toekomst zouden kunnen gaan bieden.

Sieb Kemme introduceert en demonstreert de SLO-lijn, een door de Stichting Leerplanontwikkeling beheerd bulletin board annex elektronische brievenbus voor het onderwijs.

Han Hermsen gaat in op recente ontwikkelingen als:

en op de toekomst:

 

Computernetwerken. Niets voor het onderwijs? Dat hangt ervan af!

Je hebt er pas wat aan als je er op een makkelijke manier dingen mee kunt doen die je zinvol vindt voor het onderwijs. Denk aan:

 

Technisch is het allemaal mogelijk, in de praktijk zijn dergelijke faciliteiten beschikbaar, maar van breed georganiseerd gebruik is nog geen sprake, waardoor de waarde ervan betrekkelijk blijft.

Sinds jaar en dag zijn er bulletin boards voor het onderwijs. De SLO-lijn is er een voorbeeld van. Alles wat je nodig hebt is: een computer, een telefoonlijn, een modem, het telefoonnummer van het bulletin board en een programma op je computer om in een tijdelijk mini-netwerk met de bulletin board computer te kunnen communiceren. Zie hierboven wat je vervolgens zou kunnen gaan doen.

Het is te verwachten dat de bestaande bulletin boards gaandeweg zullen worden geïntegreerd in een modern netwerk als Internet met nog veel meer mogelijkheden. Via een fraaie bediening kun je gedigitaliseerde informatie (tekst, al dan niet bewegend beeld, geluid) op allerlei terrein vanuit binnen- en buitenland op je computer afspelen. Op dezelfde manier als bij een bulletin board ben je via één Internet-computer verbonden met alle Internet-computers in de wereld.

 

Wellicht zijn er docenten die nu al op Internet ergens iets tegenkomen dat in de les kan worden gebruikt. Voor de enkeling die deze `digitale snelweg' kan bereizen, zijn dit soort toevalstreffers misschien wel de spannendste dingen die je kunnen overkomen.

 

 

 

Computernetwerken zullen in de toekomst echter pas werkelijk betekenis krijgen voor het onderwijs als geheel, als:

Wat moet er nog gebeuren om zover te komen?

 

 

Hoogtemeters

Fried den Ouden

Grensland College, Budel

 

In het nieuwe leerplan wiskunde voor vbo/mavo en de onderbouw havo/vwo is ruimte gereserveerd voor Geïntegreerde Wiskundige Activiteiten (GWA). Het is de bedoeling dat leerlingen datgene wat ze tijdens de wiskundelessen geleerd hebben, leren gebruiken en toepassen in alledaagse situaties. Omdat er weinig of geen concrete richtlijnen zijn, zal iedereen naar eigen inzicht een invulling geven.

 

 

In deze workshop laten we de deelnemers kennis maken met het ontstaan en de uitvoering van zo'n GWA-project. Aan de orde komen:

 

De deelnemers aan de workshop krijgen een reader uitgereikt waarin opgenomen: de totstandkoming van het project, de leerlingenwerkbladen, een verslag van de uitvoering en een evaluatie van het geheel. De reader omvat ongeveer 25 bladzijden.

 

 

Expositie

Tijdens de Nationale Wiskunde Dagen zal een drietal kunstenaars, te weten W. Vastrick, K. Verhoeff en G. Traarbach, enkele kunstwerken tentoonstellen. In deze kunstwerken wordt zichtbaar hoe wiskundige principes richting kunnen geven aan kleur, afmeting, schakering, etcetera.

In kleine toelichtingen bij de kunstwerken kunt u lezen welke wiskundige principes er aan ten grondslag liggen. Speciaal ter gelegenheid van deze conferentie wordt een klein boekje uitgegeven onder redactie van Professor van der Blij en Ed de Moor. Het boekje bevat een aantal artikelen over wiskunde en kunst en de gebundelde toelichtende teksten bij de kunstwerken.

 

 

 

 

Overige activiteiten

De Nationale Wiskunde Dagen zijn in de belangrijke mate bedoeld als ontmoetingsplaats. De koffie-, thee- en lunchpauzes zijn met opzet ruim gepland, zodat u van gedachten kunt wisselen met collega's. Het Leeuwenhorst Congres Centrum biedt bovendien voldoende rustige hoekjes om u terug te trekken om samen met een collega over de wiskunde en het wiskundeonderwijs te praten.

Naast de thema's en lezingen die buiten de thema's vallen is er op de Nationale Wiskunde Dagen nog veel meer te zien en te beleven. Op vrijdagavond is er feest met live muziek en zaterdagochtend wordt er voor de liefhebbers nog een fun run georganiseerd.

 

 

Muziek in het café

Ingrid Souren zingt met pianobegeleiding in de lounge bij het èf-café van 22.00 tot 24.00 uur. Ingrid Souren zingt zo'n beetje alles: chansons, ballads, rock, klassiek, ... Ze kan putten uit een veelzijdig repertoire. Voor deze gelegenheid hebben wij haar gevraagd bescheiden achtergrondmuziek te zingen. U mag daar doorheen praten.

 

 

Rock & roll

In de pre rock 'n roll dagen van eind jaren veertig, begin jaren vijftig, weten rhythm & blues sterren als Tiny Bradshaw, Big Joe Turner, Buddy Johnson en Louis Jordan met hun wervelende en energieke show elke zaal op zijn kop te zetten.

Ruim veertig jaar later zwepen de Gigantjes het publiek op met dezelfde aanstekelijke muziek. De band weet daarbij precies dezelfde sfeer neer te zetten als de helden in die tijd.

De Gigantjes zijn begonnen in 1984 als hobby-band bestaande uit muzikanten die hun sporen in de muziek ruimschoots verdiend hebben. Met de komst van zangeres Mieke kreeg de band een eigen gezicht. Al gauw groeiden de Gigantjes uit tot een van de meest gevraagde live-acts van Nederland.

De groep staat garant voor een avondvol vaart en variatie. Muziek met een hoog entertainmentgehalte. Blijf daar maar eens bij zitten.

De Gigantjes treden op van 23.00 tot 1.00 in de Rotondezaal.

 

 

Mieke Stemerdink zang Sjoerd Plak gitaar

Rob Kruisman saxofoon Fred van Straaten trompet

Rob Brondsema bas Peter Paul Everts piano & keyboard

Pete Dobson drums

 

 

 

Fun run

Speciaal voor degenen die vrijdagavond niet gedanst hebben of anderszins een fysieke inspanning hebben gepleegd, alsmede voor diegenen die stramme leden hebben overgehouden aan de vrijdagavond, en in het bijzonder voor hen die willen aantonen dat enig drankgebruik een prima conditie niet in de weg hoeft te staan, is er zaterdagochtend de gelegenheid om vijf kilometer te fun-runnen.

 

De start is stipt om 7.15 uur in de morgen.

Deelname is gratis en als beloning ligt er een prachtig T-shirt voor u bij de finish te wachten. Er is geen tijdslimiet, maar u wordt vriendelijk verzocht vóór de eerste lezingen terug te zijn.

 

 

Nationale Wiskunde Dagen 1996

De tweede Nationale Wiskunde Dagen zijn gepland op vrijdag 2 en zaterdag 3 februari 1996. Bij het organiseren van deze tweede Nationale Wiskunde Dagen hopen we gebruik te kunnen maken van uw opmerkingen en suggesties naar aanleiding van de eerste Nationale Wiskunde Dagen. Omdat wij graag willen weten wat u van de Nationale Wiskunde Dagen vindt, ontvangt u bij binnenkomst een evaluatieboekje.

Wij hopen dat u uw opmerkingen gedurende de twee dagen wilt noter