Wiskunde en filosofie
De wijze waarop over fundamentele vragen betreffende het karakter van de wiskunde wordt nagedacht, wordt in belangrijke mate door de aard van de wiskundige activiteit bepaald. In de eerste helft van de twintigste eeuw speelde zich een berucht geworden strijd af over de filosofische grondslagen van de wiskunde (daaraan zijn ondermeer de namen verbonden van D. Hilbert en L.E.J. Brouwer).
Gedurende de twintigste eeuw hebben zich binnen
de wiskunde een aantal belangrijke ontwikkelingen voorgedaan.
Welke invloed hebben die veranderingen op de belangrijkste opvattingen
die een rol speelden in de genoemde grondslagenstrijd? Deze vraag zal
worden behandeld vanuit historische, mathematische en filosofische gezichtspunten.
Kernvraag daarbij zal zijn: in hoeverre worden didactische wiskundige
praktijken gekleurd door opvattingen over de aard van de wiskunde en de
status van haar resultaten?
Filosofie van de Wiskunde - Vingerwijzingen uit het Verleden
Prof.dr. Henk Bos
Mathematisch Instituut, Universiteit Utrecht
vrijdag 13.45-14.30 uur
De wiskunde is gevormd door vele eeuwen hard nadenken
en liefde voor het vak. Het nadenken veranderde steeds, het vak dus
ook, en de aard van de liefde ervoor was ook niet steeds dezelfde.
Natuurlijk veranderde de filosofie van de wiskunde mee. Het verleden
levert dus een schat aan voorbeelden op van veranderende wiskunde
en wisselende meningen over wiskunde.
Het is plezierig uitdagend om de hedendaagse discussies over wiskunde
met die vroegere veranderingen en meningen te confronteren. De geschiedenis
van de wiskunde krijgt dan de gelegenheid vingerwijzingen te geven
in het filosofische debat.
In mijn lezing probeer ik een aantal van die vingerwijzingen uit de
geschiedenis los te peuteren. Bijvoorbeeld over het weg-abstraheren
van de relatie met de werkelijkheid, over zin en onzin van bewijzen,
en over de taken die wiskundigen zichzelf opleggen.
Wiskunde zonder grondslagen
Prof.dr. Ieke Moerdijk
Mathematisch Instituut, Universiteit Utrecht
vrijdag 16.00-16.45 uur
De belangrijkste ontwikkelingen binnen de grondslagen en filosofie van de wiskunde concentreerden zich in de eerste plaats op de `ontologie' van de wiskundige objecten. De meest succesvolle theorie is ongetwijfeld de verzamelingenleer van Zermelo en Fraenkel, waarin elk wiskundig object wordt geconstrueerd als verzameling (van verzamelingen, van verzamelingen...). In deze voordracht wil ik een meer `fenomenologische' of pragmatische kijk op de wiskunde bespreken, waarin niet de constructie van wiskundige objecten centraal staat, maar eerder het soort eigenschappen die groepen van objecten, en afbeeldingen tussen die objecten, gemeen kunnen hebben. Zo'n benadering van de wiskunde vindt men in de theorie van categorieën. Dit is een theorie die voortkomt uit de algebraïsche topologie en kort na de tweede wereldoorlog voor het eerst expliciet is geformuleerd door S. Eilenberg en S. Mac Lane. Vragen als: wat zijn precies de eigenschappen van de `categorie' van vectorruimten en lineaire afbeeldingen daartussen, en welke categorieën van wiskundige objecten hebben deze eigenschappen nog meer, blijken beter aan te sluiten op de wiskundige praktijk en vruchtbaarder voor het onderzoek (en het onderwijs?) dan de vraag hoe een lineaire afbeelding tussen vectorruimten precies te beschrijven als een verzameling (van verzamelingen, van verzamelingen...).
Computer wiskunde
Prof.dr. Henk Barendregt
Faculteit Wiskunde en Informatica, Katholieke Universiteit Nijmegen
zaterdag 9.15-10.00 uur
Hieronder verstaat men wiskunde die exact gerepresenteerd
is op een computer (dus niet bij benadering, zoals in de numerieke
wiskunde). Allereerst werd dit gedaan in de zogenaamde `Computer Algebra'
waarin berekenbare begrippen zoals "
2 exact gerepresenteerd worden. Het een en ander kan ook met niet-berekenbare
begrippen gebeuren. Daarvoor moet men wel bewijzen geheel formaliseren
zodat de computer kan nakijken of de uitspraken erin goed geformuleerd
en de logische stappen erin geldig zijn. Er zijn verschillende manieren
om systemen voor computer wiskunde te funderen: de formalistische,
de logicistische, de intuïtionistische en de platonistische.
Wat voorheen filosofie was is nu technologie! We zullen voorbeelden
laten zien en voor- en nadelen van de methodes noemen. Het grootste
nadeel is vooralsnog dat de technologie nog steeds in haar kinderschoenen
staat.
In de informatica heeft zij reeds belangrijke toepassingen.
Verschillende filosofieën <=> verschillende wiskundeleraren
Lidy Wesker
Jac.P. Thijsse College, Castricum
zaterdag 10.45-11.30 uur
Wat is de relatie tussen de ideeën van
de wiskundedocent over wat wiskunde is en het het lesgeven in wiskunde?
Deze vraag staat centraal in het onderzoek naar de filosofie achter
het wiskundeonderwijs. Je zou kunnen stellen dat er een sterke relatie
bestaat tussen de persoonlijke filosofie van de wiskundedocent en
de wiskunde-ervaringen van zijn wiskundeleerlingen. Maar hoe zitten
we gevangen in de tweede fase, in de eindtermen en in het beleid van
de school?
Vaak is de filosofie van de wiskundedocent wat betreft wiskunde en
onderwijs impliciet aanwezig. In deze workshop wordt uw persoonlijke
filosofie expliciet gemaakt en kunt u kennisnemen van de filosofieën
van uw collega's. Daarnaast wordt ook de invloed van filosofieën
op het wiskundeonderwijs duidelijk gemaakt.
Kortom, denken wij als wiskundedocenten allemaal hetzelfde over: