Wiskunde
A-lympiade: Finale 1996-1997
NB: bij
het tweede gedeelte van deze opgave moet gebruik gemaakt worden van een
(ANWB-)kaart vande omgeving EindhovenNijmegen
De 'rechte' weg
Inleiding
Bij het aanleggen van verbindingen, zoals een wandelpad,
een fietspad, een snelweg, een hogesnelheidslijn of een goederen spoorlijn,
moet een afweging gemaakt worden tussen een groot aantal factoren. De kortste
weg is meestal niet de goedkoopste en ook zelden de meest "omgevingsvriendelijke".
Discussies over de voor- en nadelen van de verschillende mogelijkheden
verlopen in de regel uiterst moeizaam.
In deze opgave willen we een poging doen om met eenvoudige
wiskundige hulpmiddelen op een kwantitatieve wijze naar alternatieven te
zoeken.
Een wandelpad
In de gemeente Waterbroek ligt vlakbij het winkelcentrum
een park. Vanuit de wijk Groenzicht is het maar enkele minuten lopen door
het park naar het winkelcentrum.
Bijlage 1 bevat een plattegrond van het park. Het park
bestaat uit grasveld, met daarop wat perken, een speeltuin en een vijver.
Zoals je ziet zijn er heel wat mogelijke wandelingen van A (de wijk) naar
B (het winkelcentrum).
Doordat iedereen zijn eigen voorkeur volgt hebben gras
en beplanting nogal wat te lijden. De gemeente heeft besloten dat er een
voetpad aangelegd zal worden. Om te voorkomen dat de wandelaars toch weer
afwijkende routes gaan kiezen wil men het voetpad ook de (bijna) kortste
verbinding laten zijn. Het pad mag niet door de perken, de vijver en de
speeltuin heen gaan.
Aan jullie wordt dus de vraag gesteld hoe het wandelpad
zal moeten lopen.
Het wandelpad zal een grindpad worden met een breedte
van 3 meter, waarbij dat in de bochten wel iets variabel mag zijn.
- Bepaal het (of een) kortste pad van A naar
B en beschrijf de strategie die je gevolgd hebt om tot dit pad te komen.
In feite is het probleem voor de gemeente lastiger. De
ondergrond is niet overal gelijk. Afhankelijk van de ondergrond zijn de
kosten hoger.
Op zandgrond kost het pad per vierkante meter f50,-,
op klei f150,- en op veen f250,-. (De grondsoorten zijn in bijlage 1 door
arcering aangegeven).
Verder is het mogelijk om de perken te verplaatsen en
om een brug over de vijver aan te leggen. Het verplaatsen van een perk
kost f500,- per vierkante meter, en een brug van 2 meter breed (de minimale
breedte), kost f2000,- per meter.
- Bepaal het (of een) goedkoopste pad van A naar
B.
De bezoekers van het winkelcentrum willen zo snel
mogelijk van A naar B, de gemeente zo goedkoop mogelijk.
- Bepaal een, gezien de wensen, bijna ideaal
pad. Zet de beweegredenen voor de keuze van dit pad helder uiteen, zodat
beide partijen zich hierin kunnen vinden.
Een snelweg
Reeds jaren wordt er gediscussieerd over de nieuw aan
te leggen autosnelweg tussen Eindhoven en Nijmegen.
Op de bijgevoegde kaart is goed te zien dat de huidige
provinciale
weg een groot aantal plaatsen doorsnijdt. Het enorm toegenomen verkeer
heeft van deze plaatsen ernstige knelpunten gemaakt. Bovendien zijn de
plaatsen zelf vrijwel onleefbaar geworden, vooral vlakbij de weg.
Bij het bepalen van het nieuwe tracé moet een
afweging gemaakt worden tussen vele slecht vergelijkbare criteria. Een
daarvan is natuurlijk een snelle verbinding. Andere wensen betreffen de
afstand tot bewoonde gebieden: niet te ver ervandaan ivm industrie en economische
potentie, maar ook niet te dichtbij, ivm geluidshinder, het ontzien van
natuurgebieden, de grond waarover de weg zal lopen (zand, klei), het beperken
van het aantal noodzakelijke kunstwerken zoals viaducten (als een andere
verbindingsweg doorkruist wordt) en bruggen, onteigeningskosten en korte
toegangswegen vanuit de plaatsen langs het tracé naar de snelweg.
Ook de mate waarin andere wegen ontlast worden door de aanleg van het nieuwe
tracé zou mee kunnen spelen.
Aan jullie wordt gevraagd een voorstudie uit te voeren
die in de besluitvorming een belangrijke rol moet gaan spelen.
Schrijf een gedegen rapport over de door jullie uit te
voeren voorstudie, waarin in ieder geval de volgende zaken aan de
orde komen (gebruik daarbij ook de informatie op bijlagen 2 en 3):
- Bereken in de huidige situatie de rijtijd
van Eindhoven naar Nijmegen.
- Een aantal werkgroepen wordt gevraagd met
een voorstel voor een tracé te komen. Eén van die werkgroepen
is de Stichting Natuurbeheer. Het voorstel van de Stichting zal de meest
milieuvriendelijke variant zijn, maar bij het maken van dit voorstel heeft
de Stichting Natuurbeheer al in het achterhoofd dat er meer partijen, met
meerdere belangen, zijn.
- De beide gemeentes van Eindhoven en Nijmegen
hebben ook zelf nog twee werkgroepen ingesteld, die vanuit verschillende
gezichtspunten een voorstel maken. Eén werkgroep maakt een voorstel
voor een zo snel mogelijk traject, maar ook dat voorstel houdt rekening
met meerdere belangen; de andere werkgroep onderzoekt de mogelijkheden
voor een zo goedkoop mogelijk traject (de "nul-variant") en maakt hiervoor
een voorstel. Ook deze werkgroep houdt er rekening mee dat er meerdere
partijen voorstellen doen.
- Uiteindelijk moet er bepaald worden welk tracé
het gaat worden. De variant die gekozen zal worden zal waarschijnlijk een
evenwichtige variant zijn, die het meest tegemoet komt aan de criteria
die een rol dienen te spelen bij de keuze van een geschikt tracé.
Dit kan ertoe leiden dat er aanvullend één of meer nieuwe
varianten naar voren moeten worden geschoven. Bepaal een goed verdedigbare
(cijfermatige) weging van de criteria en daarmee een passend advies voor
het te kiezen tracé. Probeer ook na te gaan of dit tracé
erg gevoelig is voor de gekozen weging van de criteria, dat wil zeggen
of het tracé direct verschuift als de onderlinge weging van de verschillende
criteria wat veranderd wordt.
BIJLAGE 1
BIJLAGE 2
Rijsnelheden
soort weg
|
|
daluur
|
spitsuur*
|
provinciale weg
|
binnen bebouwde kom
|
50 km/u
|
40 km/u
|
|
met ventwegen langszij
|
70 km/u
|
50 km/u
|
|
buiten bebouwde kom
|
80 km/u
|
70 km/u
|
snelweg
|
maximum snelheid
|
100 km/u
|
80 km/u
|
|
maximum snelheid
|
120 km/u
|
90 km/u
|
stoplichtkruisingen
|
kans op rood licht
|
30%
|
70%
|
|
wachttijd bij rood licht
|
1 minuut
|
3 minuten
|
* bij overbelasting van het wegennet
BIJLAGE 3
Kosten van kruisende infrastructuur (in miljoenen)
baanconcept van snelweg
|
hoogte tov maaiveld
|
kruisingstype
|
kruisende infrastructuur in de vorm van
polderweg--provincieweg--snelweg
|
verdiept
|
- 6.0 m
|
viadukt
|
4 milj
|
8 milj
|
16 milj
|
halfverdiept
|
- 3.0 m
|
viadukt
|
6 milj
|
12 milj
|
24 milj
|
op maaiveld
|
+ 1.0 m
|
viadukt
|
8 milj
|
16 milj
|
32 milj
|
op maaiveld
|
+ 1.0 m
|
tunnel
|
20 milj
|
40 milj
|
80 milj
|
dijklichaam
|
+ 7.0 m
|
doorgang
|
7 milj
|
14 milj
|
28 milj
|
Aanlegkosten van 2 x 2 baans snelweg inclusief vluchtstroken
per kilometer (in miljoenen)
baanconcept
|
kosten
|
op maaiveld
|
25 milj/km
|
dijklichaam
|
40 milj/km
|
viadukt overspanning = 20 - 40 meter
|
80 milj/km
|
viadukt overspanning = 100 meter
|
120 milj/km
|
halfverdiepte tunnelbak
|
80 milj/km
|
volledig verdiepte tunnelbak
|
140 milj/km
|
tunnel vanaf maaiveld aangelegd
|
180 milj/km
|
ingevaren en afgezonken tunnel
|
190 milj/km
|
boortunnel (2 maal diameter 12 meter)
|
220 milj/km
|
op- en afritten: 4 stuks per afslag
|
15 milj per afslag
|
* extra rijstrook op maaiveld
|
5 milj/km
|