Finale 1996-1997

Wiskunde A-lympiade: Finale 1996-1997

NB: bij het tweede gedeelte van deze opgave moet gebruik gemaakt worden van een (ANWB-)kaart vande omgeving EindhovenNijmegen

De 'rechte' weg

Inleiding

Bij het aanleggen van verbindingen, zoals een wandelpad, een fietspad, een snelweg, een hogesnelheidslijn of een goederen spoorlijn, moet een afweging gemaakt worden tussen een groot aantal factoren. De kortste weg is meestal niet de goedkoopste en ook zelden de meest "omgevingsvriendelijke". Discussies over de voor- en nadelen van de verschillende mogelijkheden verlopen in de regel uiterst moeizaam.

In deze opgave willen we een poging doen om met eenvoudige wiskundige hulpmiddelen op een kwantitatieve wijze naar alternatieven te zoeken.

Een wandelpad

In de gemeente Waterbroek ligt vlakbij het winkelcentrum een park. Vanuit de wijk Groenzicht is het maar enkele minuten lopen door het park naar het winkelcentrum.

Bijlage 1 bevat een plattegrond van het park. Het park bestaat uit grasveld, met daarop wat perken, een speeltuin en een vijver. Zoals je ziet zijn er heel wat mogelijke wandelingen van A (de wijk) naar B (het winkelcentrum).

Doordat iedereen zijn eigen voorkeur volgt hebben gras en beplanting nogal wat te lijden. De gemeente heeft besloten dat er een voetpad aangelegd zal worden. Om te voorkomen dat de wandelaars toch weer afwijkende routes gaan kiezen wil men het voetpad ook de (bijna) kortste verbinding laten zijn. Het pad mag niet door de perken, de vijver en de speeltuin heen gaan.

Aan jullie wordt dus de vraag gesteld hoe het wandelpad zal moeten lopen.

Het wandelpad zal een grindpad worden met een breedte van 3 meter, waarbij dat in de bochten wel iets variabel mag zijn.

Bepaal het (of een) kortste pad van A naar B en beschrijf de strategie die je gevolgd hebt om tot dit pad te komen.
In feite is het probleem voor de gemeente lastiger. De ondergrond is niet overal gelijk. Afhankelijk van de ondergrond zijn de kosten hoger.
Op zandgrond kost het pad per vierkante meter f50,-, op klei f150,- en op veen f250,-. (De grondsoorten zijn in bijlage 1 door arcering aangegeven).
Verder is het mogelijk om de perken te verplaatsen en om een brug over de vijver aan te leggen. Het verplaatsen van een perk kost f500,- per vierkante meter, en een brug van 2 meter breed (de minimale breedte), kost f2000,- per meter.
Bepaal het (of een) goedkoopste pad van A naar B. De bezoekers van het winkelcentrum willen zo snel mogelijk van A naar B, de gemeente zo goedkoop mogelijk.
Bepaal een, gezien de wensen, bijna ideaal pad. Zet de beweegredenen voor de keuze van dit pad helder uiteen, zodat beide partijen zich hierin kunnen vinden.

Een snelweg

Reeds jaren wordt er gediscussieerd over de nieuw aan te leggen autosnelweg tussen Eindhoven en Nijmegen.

Op de bijgevoegde kaart is goed te zien dat de huidige provinciale weg een groot aantal plaatsen doorsnijdt. Het enorm toegenomen verkeer heeft van deze plaatsen ernstige knelpunten gemaakt. Bovendien zijn de plaatsen zelf vrijwel onleefbaar geworden, vooral vlakbij de weg.

Bij het bepalen van het nieuwe tracé moet een afweging gemaakt worden tussen vele slecht vergelijkbare criteria. Een daarvan is natuurlijk een snelle verbinding. Andere wensen betreffen de afstand tot bewoonde gebieden: niet te ver ervandaan ivm industrie en economische potentie, maar ook niet te dichtbij, ivm geluidshinder, het ontzien van natuurgebieden, de grond waarover de weg zal lopen (zand, klei), het beperken van het aantal noodzakelijke kunstwerken zoals viaducten (als een andere verbindingsweg doorkruist wordt) en bruggen, onteigeningskosten en korte toegangswegen vanuit de plaatsen langs het tracé naar de snelweg. Ook de mate waarin andere wegen ontlast worden door de aanleg van het nieuwe tracé zou mee kunnen spelen.

Aan jullie wordt gevraagd een voorstudie uit te voeren die in de besluitvorming een belangrijke rol moet gaan spelen.

Schrijf een gedegen rapport over de door jullie uit te voeren voorstudie, waarin in ieder geval de volgende zaken aan de orde komen (gebruik daarbij ook de informatie op bijlagen 2 en 3):

Bereken in de huidige situatie de rijtijd van Eindhoven naar Nijmegen.
Een aantal werkgroepen wordt gevraagd met een voorstel voor een tracé te komen. Eén van die werkgroepen is de Stichting Natuurbeheer. Het voorstel van de Stichting zal de meest milieuvriendelijke variant zijn, maar bij het maken van dit voorstel heeft de Stichting Natuurbeheer al in het achterhoofd dat er meer partijen, met meerdere belangen, zijn.
De beide gemeentes van Eindhoven en Nijmegen hebben ook zelf nog twee werkgroepen ingesteld, die vanuit verschillende gezichtspunten een voorstel maken. Eén werkgroep maakt een voorstel voor een zo snel mogelijk traject, maar ook dat voorstel houdt rekening met meerdere belangen; de andere werkgroep onderzoekt de mogelijkheden voor een zo goedkoop mogelijk traject (de "nul-variant") en maakt hiervoor een voorstel. Ook deze werkgroep houdt er rekening mee dat er meerdere partijen voorstellen doen.

Uiteindelijk moet er bepaald worden welk tracé het gaat worden. De variant die gekozen zal worden zal waarschijnlijk een evenwichtige variant zijn, die het meest tegemoet komt aan de criteria die een rol dienen te spelen bij de keuze van een geschikt tracé. Dit kan ertoe leiden dat er aanvullend één of meer nieuwe varianten naar voren moeten worden geschoven. Bepaal een goed verdedigbare (cijfermatige) weging van de criteria en daarmee een passend advies voor het te kiezen tracé. Probeer ook na te gaan of dit tracé erg gevoelig is voor de gekozen weging van de criteria, dat wil zeggen of het tracé direct verschuift als de onderlinge weging van de verschillende criteria wat veranderd wordt.

BIJLAGE 1

BIJLAGE 2

Rijsnelheden

soort weg

daluur

spitsuur*

provinciale weg

binnen bebouwde kom

50 km/u

40 km/u

met ventwegen langszij

70 km/u

50 km/u

buiten bebouwde kom

80 km/u

70 km/u

snelweg

maximum snelheid

100 km/u

80 km/u

maximum snelheid

120 km/u

90 km/u

stoplichtkruisingen

kans op rood licht

30%

70%

wachttijd bij rood licht

1 minuut

3 minuten

* bij overbelasting van het wegennet

BIJLAGE 3

Kosten van kruisende infrastructuur (in miljoenen)

baanconcept van snelweg

hoogte tov maaiveld

kruisingstype

kruisende infrastructuur in de vorm van

polderweg--provincieweg--snelweg

verdiept

- 6.0 m

viadukt

4 milj

8 milj

16 milj

halfverdiept

- 3.0 m

viadukt

6 milj

12 milj

24 milj

op maaiveld

+ 1.0 m

viadukt

8 milj

16 milj

32 milj

op maaiveld

+ 1.0 m

tunnel

20 milj

40 milj

80 milj

dijklichaam

+ 7.0 m

doorgang

7 milj

14 milj

28 milj

Aanlegkosten van 2 x 2 baans snelweg inclusief vluchtstroken per kilometer (in miljoenen)

baanconcept

kosten

op maaiveld

25 milj/km

dijklichaam

40 milj/km

viadukt overspanning = 20 - 40 meter

80 milj/km

viadukt overspanning = 100 meter

120 milj/km

halfverdiepte tunnelbak

80 milj/km

volledig verdiepte tunnelbak

140 milj/km

tunnel vanaf maaiveld aangelegd

180 milj/km

ingevaren en afgezonken tunnel

190 milj/km

boortunnel (2 maal diameter 12 meter)

220 milj/km

op- en afritten: 4 stuks per afslag

15 milj per afslag

* extra rijstrook op maaiveld

5 milj/km