Wiskunde
A-lympiade: Voorronde 1995-1996
Liften
Inleiding
In 1995 betrekt een groot bedrijf, met 1200 werknemers, een nieuw kantoorpand.
Het kantoorpand is een gebouw van 21 verdiepingen: begane grond en de verdiepingen
1 tot en met 20.
In de centrale hal op de begane grond zijn zes liften. Alle werknemers
werken op de eerste verdieping of hoger en maken gebruik van de liften.
In de eerste weken blijkt dat 's ochtends bij het binnenkomen grote
problemen ontstaan. Zowel het bemachtigen van een lift als de tijd die
sommigen onderweg zijn in de lift leveren onaanvaardbare situaties op.
Soms komt het voor dat een lift gevuld is met werknemers die allemaal op
een verschillende verdieping moeten zijn. Degene die naar de hoogste verdieping
moet, is dan ruim vijf minuten onderweg. De mensen die beneden staan te
wachten (en dat zijn er soms veel) proberen allemaal de lift te bemachtigen
die weer het eerst beneden aankomt en het dichtste bij de ingang van het
gebouw is.
Na enkele weken besluit de directie een 'elevator supervisor' aan te
stellen om de mensenstroom van aankomende werknemers 's ochtends wat meer
in goede banen te leiden. De supervisor krijgt de opdracht om maatregelen
te nemen die de verwerking van de stroom werknemers soepeler doen verlopen.
De supervisor zet allereerst de gegevens die met dit probleem te maken
hebben op een rijtje:
-
Naar elke verdieping gaan 60 mensen.
-
De capaciteit van elke lift is 20 mensen.
-
Snelheid van de liften:
Vanuit stilstand naar stilstand een verdieping hoger of lager: |
8 sec. |
Vanuit stilstand naar passeren verdieping hoger of lager: |
5 sec. |
Tijd tussen passeren twee opvolgende verdiepingen: |
sec. |
Van passeren verdieping tot stilstand een verdieping hoger of lager: |
6 sec. |
-
De tijd dat de lift gemiddeld stilstaat op een verdieping is 10 sec.
De supervisor heeft ook de volgende aanvullende gegevens over de stroom
werknemers verzameld:
-
Alle werknemers komen tussen 8.45 en 9.00 uur binnen.
-
Er is een gelijkmatige stroom: hij gaat er daarom van uit dat er per minuut
vier werknemers van iedere verdieping de centrale hal binnenkomen.
Hij bedenkt het volgende model om de stroom werknemers, naar hij hoopt
sneller, te verwerken:
-
Drie liften gaan uitsluitend naar de verdiepingen 1 tot en met 10.
-
De andere drie liften stoppen alleen op de verdiepingen 11 tot en met 20.
-
Omdat gebleken is dat tussen 8.45 en 10.00 de werknemers hun verdieping
nagenoeg niet verlaten, wordt in het model aangenomen dat de liften alleen
gebruikt worden om de aankomende personen naar hun werkplek te vervoeren.
Opdracht I
-
Bereken hoe lang het op deze manier ongeveer zal duren voordat alle werknemers
op de goede verdieping zijn aangekomen.
-
Ga ook na hoe groot het aantal mensen kan worden dat in de centrale hal
staat te wachten.
-
Bepaal tevens hoeveel tijd een werknemer nodig kan hebben om (vanaf het
tijdstip van binnenkomst in het gebouw) aan te komen op zijn/haar verdieping.
Er zijn natuurlijk allerlei andere modellen te bedenken om de werknemers
sneller per lift naar hun verdieping te brengen. Zo zou bijvoorbeeld de
helft van de liften alleen op de even verdiepingen kunnen stoppen en de
andere helft op de oneven verdiepingen.
Opdracht II
-
Bedenk tenminste drie dienstregelingen voor de liften die naar jullie verwachting
zorgen voor een snellere afwikkeling van de ochtendspits. Vergelijk alle
modellen met elkaar en geef bij elk model argumenten die in het voor/nadeel
ervan spreken.
Er zijn, in combinatie met een dienstregeling voor de liften, natuurlijk
ook allerlei andere maatregelen denkbaar om de stroom soepeler te verwerken,
zoals bijvoorbeeld:
-
Mensen meer gespreid binnen laten komen.
-
Mensen naar bepaalde verdiepingen laten lopen.
Opdracht III
-
Stel je voor dat jullie supervisor zijn. Schrijf een advies voor de directie
waarin je een aantal voorstellen doet om de stroom soepeler te laten verlopen.
Ondersteun je advies met berekeningen en argumenten en verantwoord de gemaakte
aannames.
Een onderdeel van je advies dient ook een voorbeeldmemo te zijn, waarin
je de werknemers op de hoogte stelt van de voorgestelde maatregelen en
uitlegt wat de maatregelen voor hen inhouden.
Maak ook een keuze of je met de volgende zaken rekening wilt houden:
-
De werknemers willen niet al teveel betutteld worden en willen ook geen
heel ingewikkelde regeling, maar ze willen snel op hun verdieping aankomen.
-
De directie zetelt op de 15e verdieping en wil het liefst in het voorstel
een voorkeursbehandeling krijgen.