Wiskunde A-lympiade: Finale 1994-1995

Toevalstreffers

Inleiding

Bij veel sporten worden toernooien gehouden, waarbij wedstrijden in verschillende poules in eerste instantie een schifting tussen de teams aanbrengen.
In de historie zijn veel gevallen bekend waarin een gedoodverfde winnaar al in de poulewedstrijden ten onder ging en niet meer toekwam aan een mogelijke (halve) finaleplaats. Naarmate de verschillen tussen de teams kleiner zijn en naarmate het toeval een grotere rol speelt bij de uitslagen in de poule-wedstrijden kunnen zulke situaties zich voordoen.
Het is duidelijk dat bij de ene sport het toeval een grotere rol speelt dan bij de andere sport.

In deze opdracht willen we een onderzoek op gang brengen naar de rol van het toeval in de sport. Door te onderzoeken hoe de factor toeval een rol speelt in de uiteindelijke uitslag van een poule, kan misschien aan de hand van uitslagen van gespeelde toernooien een uitspraak gedaan worden over de mate waarin een sport kan worden aangemerkt als gelukssport.
Iets meer toelichting: de uitslagen worden aan de ene kant beïnvloed door de krachtsverhoudingen, verschil in sterkte van de deelnemende teams, maar ze hangen ook meer of minder van het toeval af.
Je kunt je twee uitersten (extreme situaties) voorstellen. In het ene geval zijn alleen de krachtsverhoudingen bepalend. Er is een rangorde van sterkte onder de deelnemende teams en een sterkere wint altijd van een zwakkere. Toeval speelt geen rol.
Hier tegenover staat de opvatting dat alles beheerst wordt door het toeval. Bij iedere wedstrijd hebben de deelnemers dezelfde kans om te winnen.
De werkelijkheid ligt ergens tussen deze beide uitersten. Bij de ene sport dichter bij het eerste, bij de andere dichter bij het andere uiterste. Dan hoeft de sterkere niet altijd te winnen. Wel zal de kans daarop groter zijn (afhankelijk van de krachtsverhouding).
Een grotere invloed van het toeval geeft vaak natuurlijk wel spectaculairdere wedstrijden en toernooiverlopen en daardoor een hogere amusumentswaarde. Een grotere invloed van de krachtsverhoudingen daarentegen is wellicht eerlijker.

Cykels
Bij veel sporten worden toernooien gehouden waarbij een groot deel van het toernooi wordt gespeeld in poules, eventueel voortgezet in kwartfinales, halve finales en een finale.
Het onderzoek richt zich voorlopig op de mogelijke gebeurtenissen in poules, waarbij elke tegenstander de andere tegenstanders uit de poule precies één keer treft.
In de bijlagen zijn van het WK-toernooi voetbal en van het WK-toernooi volleybal voor dames de resultaten weergegeven.
In groep D van het WK-voetbal van 1994 zien we dat Argentinië wint van Nigeria, Nigeria van Bulgarije en Bulgarije weer van Argentinië. Zo'n gebeurtenis in een poule noemen we een 3-cykel. Dat kunnen we zo weergeven:
 
Oorsprong van de pijl is de winnaar
In theorie is het zelfs mogelijk dat er in een poule-uitslag twee 3-cykels voorkomen, bijvoorbeeld:
 
Oorsprong van de pijl is de winnaar

Opdracht I

Ga alle poule-wedstrijden na van het WK-voetbal 1994 en van het WK-volleybal (dames) 1994. Zoek voor beide toernooien uit hoeveel poule-uitslagen er zijn zonder 3-cykels, hoeveel met één 3-cykel en hoeveel met twee 3-cykels.
Zijn er verschillen zichtbaar tussen voetbal en volleybal?

Cykels zijn in strijd met de opvatting 'de sterkste wint'. Ze zouden wellicht passen bij het toevalsmodel. Om te onderzoeken of het toevalsmodel een verklaring kan geven voor het optreden van cykels heb je twee mogelijkheden, namelijk simulatie en theoretisch.

Cykels en simulatie
Hoeveel 3-cykels er voorkomen in de poule-uitslagen kan een aanwijzing zijn voor de mate waarin een sport beheerst wordt door het toeval, dan wel door de onderlinge krachtsverschillen. De vraag is dan hoeveel 3-cykels er te verwachten zijn bij een poule-uitslag, waarbij louter het toeval een rol heeft gespeeld. Een manier om deze vraag te beantwoorden is door een (groot) aantal poule-uitslagen te simuleren. Simuleren wil zeggen dat de uitslag (winst, verlies of gelijkspel) van elke wedstrijd in de poule wordt bepaald door bijvoorbeeld dobbelstenen of munten te gooien, of door toevalsgetallen te gebruiken, enzovoorts.

Opdracht II

  1. Ga er in eerste instantie vanuit dat er geen gelijkspel kan voorkomen. Bepaal een aantal poule-uitslagen door middel van een simulatie, waarbij bij elke wedstrijd de teams een even grote kans hebben om te winnen.

    2. Zoek voor de gesimuleerde poule-uitslagen uit hoeveel uitslagen er zijn ontstaan zonder 3-cykels, hoeveel met één 3-cykel en hoeveel met twee 3-cykels.
    Doe dit voor minimaal 25 poules.
  2. Natuurlijk kunnen er in een poule-uitslag ook 4-cykels optreden: A wint van B, B wint van C, C wint van D en D wint van A. Het blijkt dat het optreden van een 4-cykel in een pouleuitslag dezelfde situatie is als het optreden van twee 3-cykels in één poule-uitslag.

    3. Laat zien dat dat zo is.
  3. In tweede instantie kun je een simulatie uitvoeren waarbij wel een gelijkspel mogelijk is. Neem de kans op gelijkspel 2/9 (dit komt overeen met het percentage gelijke spelen bij het WK-voetbal van 1994, 1e ronde). Ga er verder vanuit dat bij elke wedstrijd de teams een even grote kans hebben om te winnen.

    4. Simuleer hiermee een aantal poule-uitslagen.
    Zoek voor de gesimuleerde poule-uitslagen uit hoeveel uitslagen er zijn ontstaan zonder 3-cykels, hoeveel met één 3-cykel en hoeveel met twee 3-cykels.
Cykels en theorie
Door systematisch alle mogelijkheden langs te gaan, kan nauwkeuriger het aantal te verwachten 3-cykels berekend worden bij poule-wedstrijden waarbij de uitslagen louter door toeval tot stand komen.

Opdracht III

  1. Op hoeveel manieren kun je in een poule van vier teams de zes pijltjes zetten, als er geen gelijkspel mogelijk is?
  2. Ga er weer vanuit dat er geen gelijkspel mogelijk is.

    3. Als voor iedere gewonnen wedstrijd één punt gegeven wordt, hoe kan dan de puntenverdeling (het klassement) van een poule eruit gaan zien, gerangschikt naar afnemend aantal punten?
    Bij welke puntenverdeling heb je cykels, bij welke niet?
    Hoe groot is de kans op een uitslag zonder cykels?
    Hoe groot is de kans dat je in vier poules geen enkele cykel hebt?
  3. Neem vervolgens als uitgangspunt dat er wel een gelijkspel mogelijk is. Stel dat beide teams een kans van p (p < 1/2) hebben om te winnen, dan blijft er een kans van q = 1 - 2p over voor een gelijkspel.

    4. Wat is de kans dat er een cykel voorkomt in een poule met maar drie teams?
    Bij een poule met vier teams is het moeilijker een kans op geen, één of twee cykels te berekenen. Men kan deze kansen wel berekenen.
    Kans op geen cykel is nu 1 - 8p3 + 12p5
    Kans op één cykel is nu 8p3 - 24p5
    Kans op twee cykels is 12p5
    Kun je dit vergelijken met resultaten uit de echt gespeelde wedstrijden en met de simulatie die je boven uitvoerde voor wedstrijden in poules van vier teams waarbij gelijkspel voor kan komen?

Opdracht IV

  1. Volleybal is een snellere sport dan voetbal. Er gebeurt meer in een wedstrijd; er worden ook meerdere sets gespeeld. Als het een langzamere sport zou zijn, kun je je voorstellen dat er maar één set per wedstrijd gespeeld zou worden.

    2. Ga na hoe de resultaten van de vier poules damesvolleybal eruit zouden zien (en hoeveel cykels er optreden) als alleen de eerste set gespeeld zou zijn.
We gaan nu weer kijken naar de realiteit: 'best of five' (wie heeft als eerste drie sets gewonnen?).
  1. Als team A sterker is dan B, zodat bij iedere set A kans p (bijvoorbeeld 2/3) heeft om te winnen (en B dus 1 - p), hoe groot is dan de kans dat A de wedstrijd wint?

Opdracht V

We bekijken nu weer wedstrijden in poules met slechts drie clubs A, B en C, zonder gelijkspel. Uit de resultaten van een vorige uitvoeriger competitie waaraan naast A, B en C nog andere clubs meededen, leidde iemand af dat de kans dat A wint van B gelijk gesteld kan worden aan 3/4 en de kans dat B wint van C gelijk aan 3/4.
Zou je iets kunnen zeggen over de kans dat A van C wint?
Stel eventueel de kans dat A van C wint gelijk aan p, of kies een geschikte waarde voor p.
Wat is nu de kans op het voorkomen van een cykel?
Wat is de kans dat A wint?

Opdracht VI

Soms geeft men de sterkte van een club met een hypothetisch getal aan; hoe groter het getal hoe sterker de club. Als dit voor een aantal clubs gebeurt, komt er vanzelf een rangorde van de clubs te voorschijn en cykels zouden niet voor mogen komen.
Maar het kan ook zo zijn dat deze getallen alleen maar iets zeggen over de kans dat er een sterkere van een zwakkere wint.
Zou je, als aan club A het hypothetische getal a en aan club B het hypothetische getal b wordt toegekend, een manier kunnen verzinnen om iets te zeggen over de kans dat bij een bepaalde wedstrijd A van B wint?

Conclusie

Geef aan hoe je zelf een toernooi met 24 teams op zou zetten. Geef argumenten die gebaseerd zijn op de resultaten van het onderzoek dat je hebt verricht. Houd ook rekening met factoren als amusementswaarde, beperkte duur van het toernooi, eerlijkheid in de einduitslag, eventueel onderscheid in verschillende sporten, enzovoort.

Bijlage

Uitslag wereldkampioenschap voetbal 1994 USA (eerste ronde)
Groep A (USA, Colombia, Roemenië, Zwitserland)
USA - Zwitserland 1 - 1 Roemenië - Colombia 3 - 1
Zwitserland - Roemenië 4 - 1 USA - Colombia 2 - 1
Colombia - Zwitserland 2 - 0 Roemenië - USA 1 - 0
 
Groep B (Brazilië, Kameroen, Rusland, Zweden)
Kameroen - Zweden 2 - 2 Brazilië - Rusland 2 - 0
Brazilië - Kameroen 3 - 0 Rusland - Zweden 1 - 3
Brazilië - Zweden 1 - 1 Kameroen - Rusland 1 - 6
 
Groep C (Bolivia, Duitsland, Spanje, Zuid-Korea)
Duitsland - Bolivia 1 - 0 Spanje - Korea 2 - 2
Duitsland - Spanje 1 - 1 Korea - Bolivia 0 - 0
Duitsland - Korea 3 - 2 Spanje - Bolivia 3 - 1
 
Groep D (Argentinië, Bulgarije, Griekenland, Nigeria)
Argentinië - Griekenland 4 - 0 Nigeria - Bulgarije 3 - 0
Argentinië - Nigeria 2 - 1 Bulgarije - Griekenland 4 - 0
Nigeria - Griekenland 2 - 0 Argentinië - Bulgarije 0 - 2
 
Groep E (Ierland, Italië, Mexico, Noorwegen)
Ierland - Italië 1 - 0 Noorwegen - Mexico 1 - 0
Italië - Noorwegen 1 - 0 Ierland - Mexico 1 - 2
Ierland - Noorwegen 0 - 0 Mexico - Italië 1 - 1
 
Groep F (België, Marokko, Nederland, Saoedi-Arabië)
België - Marokko 1 - 0 Nederland - Saoedi-Arabië 2 - 1
België - Nederland 1 - 0 Marokko - Saoedi-Arabië 1 - 2
Nederland - Marokko 2 - 1 België - Saoedi-Arabië 0 - 1
 
Uitslagen wereldkampioenschap dames volleybal 1994 Brazilië
Voorronde
Belo Horizonte - Sph. Mineirinho
Groep A: Duitsland, Brazilië, Roemenië, Zuid-Korea
Groep C: Italië, Oekraïne, Rusland, China
21.10 A DUI - KOR 3 - 0 (16-14; 15-10; 16-14)
A BRA - ROM 3 - 0 (15-2; 15-2; 15-3)
B AZE - NED 1 - 3 (8-15; 5-15; 15-11; 10-15)
B PER - CUB 0 - 3 (9-15; 1-15; 5-15)
22.10 A KOR - ROM 3 - 0 (15-2; 15-3; 15-7)
A DUI - BRA 0 - 3 (5-15; 7-15; 5-15)
C CHN - RUS 3 - 0 (15-13; 15-12; 15-3)
C ITA - OEK 2 - 3 (4-15; 15-5; 15-4; 6-15; 12-15)
23.10 A DUI - ROM 3 - 0 (15-2; 15-2; 15-4)
A BRA - KOR 3 - 1 (10-15; 15-10; 15-7; 15-8)
C RUS - ITA 3 - 0 (15-7; 15-9; 15-5)
C OEK - CHN 1 - 3 (8-15; 10-15; 15-3; 11-15)
Sao Paulo - Sph. Ibirapuera
Groep B: Azerbeidzjan, Peru, Cuba, Nederland
Groep D: Kenia, Japan, Tsjechië, USA
21.10 C ITA - CHN 1 - 3 (15-8; 3-15; 14-16; 5-15)
C OEK - RUS 1 - 3 (15-8; 14-16; 13-15; 11-15)
D KEN - USA 0 - 3 (2-15; 7-15; 4-15)
D JPN - TSJ 3 - 0 (15-7; 15-9; 15-2)
22.10 D USA - TSJ 3 - 0 (15-2; 15-1; 15-1)
D KEN - JPN 0 - 3 (1-15; 3-15; 4-15)
B NED - CUB 0 - 3 (4-15; 9-15; 10-15)
B AZE - PER 3 - 0 (15-12; 15-13; 15-6)
23.10 D TSJ - KEN 3 - 0 (15-7; 15-3; 15-0)
D USA - JPN 3 - 1 (15-8; 6-15; 15-7; 15-7)
B CUB - AZE 3 - 0 (15-9; 15-9; 15-12)
B PER - NED 0 - 3 (8-15; 7-15; 5-15)
 
Play-off
Belo Horizonte - Sph. Mineirinho
25.10 seeding group
  • nummers 1 uit de poules
  • 1 wedstrijd per team = totaal 2 wedstrijden
  • tegenstander door loting bepaald
CUB - USA 3 - 0 (16-14; 15-9; 15-12)
BRA - CHN 3 - 0 (15-12; 15-4; 15-9)
Sao Paulo - Sph. Ibirapuera
25.10 elimination group
  • nr. 2 en 3 uit de poules
  • 1 wedstrijd per team = totaal 4 wedstrijden
  • winnaars gaan door naar finaleronde
NED - KOR 1 - 3 (11-15; 4-15; 15-6; 6-15)
DUI - AZE 3 - 1 (15-4; 15-3; 8-15; 15-9)
JAP - OEK 3 - 0 (15-10; 15-11; 15-8)
RUS - TSJ 3 - 1 (16-14; 9-15; 15-8; 15-11)
 
Finaleronde
Sao Paulo - Sph. Ibirapuera
28.10 CUB - DUI 3 - 0 (15-9; 15-5; 15-5)
BRA - JPN 3 - 0 (15-10; 17-15; 15-7)
KOR - CHN 3 - 1 (15-5; 4-15; 15-5; 15-11)
RUS - USA 3 - 1 (15-9; 9-15; 15-9; 16-14)
29.10 BRA - RUS 3 - 2 (15-7; 14-16; 12-15; 15-8; 15-10)
CUB - KOR 3 - 0 (15-4; 15-9; 15-5)
DUI - CHN 3 - 1 (13-15; 15-13; 15-10; 15-13)
USA - JPN 3 - 1 (8-15; 15-7; 15-7; 15-7)
30.10 pl. 7/8 JPN - CHN 3 - 2 (9-15; 15-12; 10-15; 15-10; 15-7)
pl. 5/6 DUI - USA 3 - 1 (16-14; 15-9; 13-15; 15-10)
pl. 3/4 RUS - KOR 3 - 1 (14-16; 15-11; 15-6; 15-8)
pl. 1/2 CUB - BRA 3 - 0 (15-2; 15-10; 15-5)