Wiskunde A-lympiade: Finale 2000-2001

Verkeershinder van vrachtwagens

Inleiding

Een aannemer wil 1000 m3 zand vervoeren over een bepaald traject van 3 km lengte. Aangezien dit transport door het trage tempo van de volle vrachtauto verkeershinder op zal leveren en de gemeente daarvoor kosten in rekening brengt, schakelt de aannemer een adviesbureau in om een schatting van deze kosten te maken. Jullie team is dit adviesbureau!
Het adviesbureau is gespecialiseerd in verkeersvraagstukken. Om de verkeershinder van een langzaam rijdend voertuig in kaart te brengen gebruikt men een bepaald model. In dit model worden de gegevens die de aannemer verstrekt, verwerkt in diverse grafieken waaruit vervolgens de verkeershinder kan worden afgeleid.

Oefensituaties

Situatie 1

Het adviesbureau begint met een vereenvoudigde versie van het gestelde probleem. Daarbij gaat men van de volgende veronderstellingen uit:

·         er wordt op één rijbaan een traject van 500 meter bekeken (hierna verlaat de vrachtauto de weg)

·         er rijdt één volle vrachtauto met een snelheid van 30 km/u.

·         elke 10 seconden komt er een personenauto met een snelheid van 60 km/u het traject op en blijft achter de vrachtauto rijden

·         alle snelheidsovergangen zijn abrupt: op het ene moment rijdt men 60 km/u en op het andere 30 km/u. Er is dus geen tijd nodig om te vertragen dan wel te versnellen

·         er geldt een inhaalverbod

·         alle automobilisten gedragen zich op dezelfde wijze: ze rijden met een zelfde snelheid, ze houden dezelfde afstand tot hun voorganger

·         de onderlinge afstand tussen de auto's is afhankelijk van de snelheid van de auto's: bij lagere snelheid is deze onderlinge afstand natuurlijk kleiner dan bij hogere snelheid.

In figuur I zijn de ritten van de vrachtauto en van de eerste twee auto's die daarna met tussenpozen van 10 seconden het traject op komen rijden, weergegeven.

Bestudeer figuur I. Hieruit kun je aflezen hoeveel vertraging de eerste twee auto’s oplopen.

Door de grafieken van alle volgende auto's die nog last van de vrachtwagen ondervinden in figuur I er bij te tekenen kun je het totaal aantal hinderminuten bepalen. Dit is de totale extra reistijd van alle auto's samen ten gevolge van de vrachtwagen. De gemeente gebruikt dit totaal aantal hinderminuten om de kosten te berekenen die de aannemer moet betalen.

  1. Bereken het totaal aantal hinderminuten in deze situatie.

     

    Het totaal aantal hinderminuten dat een traag transport zal veroorzaken hangt van diverse factoren af. Eén van deze factoren is de verkeersintensiteit. Dat is het aantal voertuigen per minuut dat op het traject rijdt. Een andere factor is bijvoorbeeld de lengte van het traject dat het trage transport aflegt. Bij de situatie in figuur I is de verkeersintensiteit zes auto's per minuut en is het traject 500 meter lang.

    Situatie 2

    Men onderzoekt een tweede  vereenvoudigde situatie: met een andere trajectlengte (1000 m) en een andere verkeersintensiteit. De grafiek die bij deze situatie hoort is weergegeven in figuur II.
    1. Beschrijf uitvoerig wat er in figuur II te zien is. Vermeld daarbij aspecten als intensiteit, de diverse snelheden, onderlinge afstand van de auto’s, etc. Bereken ook het totaal aantal hinderminuten.

    Vooronderzoek verkeersintensiteit

     Na de twee 'oefensituaties' besluit het adviesbureau op het gegeven traject van 3 km een aantal verschillende verkeerssituaties te bestuderen. Er zijn natuurlijk meer factoren die, naast de verkeersintensiteit, het totaal aantal hinderminuten kunnen beïnvloeden; bij het berekenen van het aantal hinderminuten houdt men in dit vooronderzoek echter alleen rekening met de variatie in de verkeersintensiteit.
    Het maken van de grafieken in figuur II is echter nogal arbeidsintensief. Voor het globaal berekenen van het totaal aantal hinderminuten zijn niet alle details van die grafiek nodig.

    In figuren III t/m VI is op globale wijze een viertal verschillende verkeerssituaties op het traject van 3 km lengte weergegeven. De verkeersintensiteit is steeds anders.

    - het lijnstuk AB stelt voor: de rit van de vrachtauto die gedurende 3 kilometer met een snelheid van 30 km/u over het traject rijdt

    - het lijnstuk AC stelt voor: de rit van de laatste auto die met een snelheid van 60 km/u over het traject rijdt voordat er hinder van de vrachtauto ontstaat

    - het lijnstuk DE stelt voor: de rit van de eerste auto die zonder hinder over het traject rijdt nadat de vrachtauto van het traject verdwenen is.

    Vergelijkbare lijnstukken kun je herkennen in figuur II.

    a.       Bepaal in elk van de figuren III t/m VI het totaal aantal hinderminuten. Beschrijf helder hoe je dat gedaan hebt.

    b.       Beschrijf hoe het totaal aantal hinderminuten afhangt van de verkeersintensiteit en illustreer dit met een grafiek.

    Het hoofdonderzoek

    Na de vooronderzoeken te hebben uitgevoerd begint het adviesbureau (jullie dus) aan het echte werk.

    Allereerst doet men onderzoek naar de verkeersintensiteit op het betreffende traject van 3 km. Deze varieert sterk gedurende een werkdag. Door middel van verkeerstellingen is deze wisselende verkeersintensiteit gemeten tussen 8.00u 's ochtends en 16.00u 's middags. De resultaten voor een gemiddelde werkdag zijn weergegeven in figuur VII.

    Ook heeft het bureau met behulp van het model dat men hanteert een grafiek opgesteld die het verband weergeeft tussen de verkeersintensiteit op het traject en het bijbehorende totaal aantal hinderminuten per rit van de vrachtauto. Zie hiervoor figuur VIII.

    Met behulp van deze twee grafieken, de gegevens over de verkeerssituatie op het traject en de gegevens die de aannemer heeft aangeleverd kan het adviesbureau nu diverse vervoersplannen opstellen en de kosten ervan berekenen.

    Het adviesbureau moet rekening houden met de volgende kostenposten van de aannemer:

    ·         de aannemer huurt 1 vrachtauto;

    ·         de kosten van de huur van de vrachtauto (inclusief chauffeur) zijn fl 500,- per dagdeel of fl 850,- per hele dag;

    ·         de vrachtauto is alleen voor een hele dag óf per dagdeel van 8.00u tot 12.00u danwel van 12.00u tot 16.00u te huur;

    ·         elke hinderminuut kost de aannemer fl 1,-. 

    Verder zijn de volgende gegevens van de aannemer bekend:

    ·         per vrachtauto wordt 12 m3 zand vervoerd;

    ·         in totaal moet er 1000 m3 zand vervoerd worden;

    ·         het laden en lossen van een vrachtauto kost samen een kwartier per vrachtauto;

    ·         een volle vrachtauto rijdt met een snelheid van 30 km/u, een lege met 60 km/u.

    Over de verkeerssituatie op het traject is het volgende bekend:

    ·         het traject is 3 km lang;

    ·         op dit traject rijden auto’s met een snelheid van 60 km/u;

    ·         op het traject geldt een inhaalverbod.

    Het adviesbureau realiseert zich al snel het volgende: als er voor gekozen wordt om de vrachtauto zo vaak als mogelijk op één dag heen en weer te laten rijden, dan zal de verkeershinder fors op kunnen lopen als gevolg van de sterk wisselende verkeersintensiteit (zie figuur VII). Gevolg is dan dat ook de kosten als gevolg van de hinderminuten oplopen. Aan de andere kant wordt het spreiden van het transport over tijden waarop de verkeersintensiteit laag is ook prijzig, omdat de vrachtauto dan heel veel dagdelen gehuurd zal moeten worden.

    Op basis van bovenstaande gegevens en grafieken kan de goedkoopste vervoersstrategie voor de aannemer bepaald worden.

    a.        Bepaal deze goedkoopste strategie.

    De goedkoopste strategie wordt in sterke mate bepaald door de randvoorwaarden, zoals: er is maar één vrachtauto; je kunt die alleen helemaal vol of leeg laten rijden; de snelheid ligt vast, etc.

    b.       Onderzoek of er een goedkopere strategie is als je de randvoorwaarden loslaat.
    Doe daarbij realistische aannames over gegevens (snelheden, kosten, intensiteit) als je die niet hebt; maak zonodig nieuwe grafieken, maar doe die aannames op grond van de gegevens die je wèl hebt!!

    c.        Verwerk de resultaten in een adviesrapport aan de aannemer. Neem daarin in ieder geval het advies voor de goedkoopste strategie binnen de randvoorwaarden op, voorzien van een degelijke onderbouwing. Daarnaast kun je iets zeggen over het loslaten van de randvoorwaarden en de gevolgen daarvan voor de strategie. Onderbouw dit en licht dit ook toe.
    Neem onderliggende berekeningen, grafieken, etc. op als bijlage(n).

    Figuur I

    Figuur II

    Figuur III

    Figuur IV

    Figuur V

    Figuur VI

    Figuur VII

    Figuur VIII