1 Nulpunten op verschillende manieren

nulpunten In deze eerste paragraaf ga je nulpunten van functies opzoeken.
Een nulpunt is de x-coordinaat van een punt waar de grafiek de x-as snijdt.
Het heet natuurlijk zo, omdat de y-coordinaat in zo'n snijpunt 0 is.
Je kunt nulpunten op verschillende manieren vinden: uit de grafiek of met
algebraische commando's. Dat komt in de volgende opgaven aan de orde.

1. Laat de grafiek tekenen van f(x) = x³ - x² -2x + 2.
Gebruik TRACE om na te gaan waar de grafiek de x-as snijdt.
Welke nulpunten vind je zo?

2. Voor een nulpunt geldt dat y = f(x) = 0. Los dus de vergelijking f(x) = 0 op.
Geef de antwoorden met wortels en met decimale getallen.
Welk verband zie je tussen deze resultaten en je antwoorden bij opgave 1?

3. Laat f(x) in factoren ontbinden met Factor(f(x),x).
Hoe zie je in het antwoord de nulpunten van de functie f weer terug?

4. Herhaal de werkwijze van opgaven 1, 2 en 3 voor de functie g met

Hoe zie je de nulpunten terug in het antwoord dat je krijgt met ontbinden in factoren?

termen In de formule x³ - x² + 2x + 2 zijn x³ , - x², 2x en 2 de termen.
factoren Na ontbinden krijg je

Daarin zijn , en de factoren.

drie Je kunt dus op drie manieren de nulpunten van een functie opzoeken:
manieren - door in de grafiek coordinaten van snijpunten met de x-as af te lezen;
- door de vergelijking f(x) = 0 op te lossen;
- door f(x) te ontbinden in factoren.

De volgende opgave laat zien dat de grafiek alleen niet voldoende is.

5. Laat de grafiek tekenen van y = x² - 210x + 11000.
Het plaatje is waarschijnlijk niet indrukwekkend.
Zoek de nulpunten met algebra en gebruik de uitkomst om een geschikt kijkvenster te
vinden.

6. Stel dat het solve-commando niet meer werkt. Bepaal toch de nulpunten van

7. Laat de vergelijking x² - 7x + 10 = 2 oplossen.
Waarom zie je nu de oplossingen niet terug in de factoren die je krijgt als je factor op x² - 7x + 10 toepast?

8. Bedenk zelf een functie waarvan je de nulpunten niet zo snel in een grafiek ziet, terwijl
je ze wel met solve of factor kunt bepalen.

2 Het aantal nulpunten en de graad van een veeltermfunctie

Je kent nu drie manieren om nulpunten van een functie te zoeken.
In deze paragraaf ga je deze toepassen op zogenaamde veeltermfuncties.
veelterm Een veeltermfunctie is een functie waarvan de formule is opgebouwd uit hele machten van x.
Een voorbeeld is de f met f(x) = x⁴ - 3x³+x²+2.
graad De hoogste macht die in de formule van een veeltermfunctie voorkomt heet de graad.
De graad van de functie f met f(x) = x⁴ - 3x³+x²+2 is dus 4.

In deze paragraaf ga je het verband onderzoeken tussen het aantal nulpunten van een
veeltermfunctie en graad.

1. Laat bij elk van de volgende veeltermfuncties een grafiek tekenen en bepaal het aantal
nulpunten op verschillende manieren:
f(x) = 17
g(x) = x - 2
h(x) = 3 - x²
k(x) = x³ - x
l(x) = x⁴ - 3x³+x²+2
m(x) =

2. Welk verband lijkt er te bestaan tussen de graad van de veeltermfunctie en het aantal nulpunten?

3. Bedenk een veeltermfunctie die vijf nulpunten heeft.

nulpunten De volgende regel lijkt nu te gelden.
en graad Het aantal nulpunten van een veeltermfunctie is gelijk aan de graad.
Laten we eens nagaan of die regel altijd klopt.

4. Probeer een tegenvoorbeeld te vinden, dus een functie waarvan het aantal nulpunten
niet gelijk is aan de graad.

5. Hoe zit het met de volgende functies:
f(x) = x³ - 4x² + 4x
g(x) = x³ - 3x² + 2x - 6

6. Bedenk een veeltermfunctie van graad 4 die geen enkel nulpunt heeft.

7. Bedenk een veeltermfunctie van graad 5 met 4 nulpunten, en ook een met 3.

8. De functie h heeft als voorschrift: h(x) = x³ - 3x + ...
Probeer een getal op de stippeltjes te schrijven zodat de functie
- drie nulpunten heeft
- een nulpunt heeft
- twee nulpunten heeft

9. Kun je een veeltermfunctie vinden die meer nulpunten heeft dan zijn graad?
3 Verfijning van het verband

Het verband tussen het aantal nulpunten en de graad van een veeltermfunctie is dus niet zo
eenvoudig als we eerst dachten.
Het lijkt er nu op dat het aantal nulpunten van een veeltermfunctie gelijk is aan de graad of
kleiner, maar in elk geval zeker niet groter dan de graad.
Of het aantal nulpunten echt niet groter kan zijn dan de graad, kun je op basis van enkele
voorbeelden nog niet met zekerheid zeggen. Dat moet eigenlijk nog bewezen worden, maar we nemen maar even aan dat dat waar is.

Hieronder ga je onderzoeken wanneer het aantal nulpunten echt kleiner is dan de graad en hoe je dat aan de formule van de veeltermfunctie kunt zien door die in factoren te ontbinden.

1. Onderzoek het aantal nulpunten van de volgende functies:

2. Ontbind de functievoorschriften van de vorige opgaven in factoren.
Wat valt je op als je let op het aantal verschillende factoren en het aantal nulpunten?

3 Welke graad heeft de veeltermfunctie m met
?
Kun je aan de formule zien hoeveel nulpunten deze functie heeft?

4 Verbeter de regel bovenaan deze pagina door aan te geven hoe je kunt weten of het
aantal nulpunten echt minder is dan de graad van de veeltermfunctie.

Weer lijken we een regel te hebben gevonden:
Het aantal nulpunten van een veeltermfunctie is gelijk aan het aantal verschillende factoren dat je
krijgt bij het ontbinden.
Eens kijken of dat waar is ...

5 Bepaal van de volgende twee functies het aantal nulpunten en vergelijk dat met het aantal factoren van de ontbinding.

6 Probeer nog een functie te vinden waarbij het aantal nulpunten niet gelijk is aan het aantal factoren van de ontbinding.

7 Welke eindconclusies kun je nu trekken over het verband tussen het aantal nulpunten en het aantal verschillende factoren in de ontbinding?

4 Spoken

Je hebt op drie manieren nulpunten van veeltermfuncties leren zoeken, en verbanden leren
kennen tussen het aantal verschillende nulpunten en de factoren in de ontbinding.
Tot besluit een kleine toepassing van dit alles: het namaken van grafieken.

1. Hieronder zie je een grafiek die een spook voorstelt.
De nulpunten liggen bij -1, -1/3, en 2.
Maak de grafiek na in TII

2. Probeer ook een mooie grafiek te maken die een medeleerling of je docent moet
namaken.